Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Для многослойного основания




Решение первой пространственной граничной задачи

 

 

Пусть – оси местной декартовой системы координат с началом на верхней границе -го слоя. Как и ранее, считаем, что оси всех местных систем координат совпадают и направлены вниз, а оси (или ) во всех слоях параллельны и сонаправлены. Слои в основании по-прежнему считаются гладкими. Первая пространственная граничная задача для многослойного основания заключается в определении напряжений и перемещений в произвольной точке основания по заданным на верхней границе основания нормальным напряжениям . Ограничимся случаем нагружения основания нормальной нагрузкой по конечной области ее верхней границы, лежащих вне области напряжения .

Решение рассматриваемой пространственной задачи может быть получено при помощи решения вспомогательной осесимметричной задачи о действии нормальной сосредоточенной силы на многослойное основание.

Пусть сила приложена к точке поверхности основания и направлена вверх. Соответствующая функция получена в §3 и имеет вид . Предполагается, что функция податливости многослойного основания известна (ее можно построить при помощи рекуррентного соотношения (5.3) из простейших функций податливости для однослойного основания или упругого полупространства). Тогда необходимую для полного решения вспомогательной задачи – функцию легко найти при помощи известного равенства . Знание функций и позволяет при помощи рекуррентных соотношений (4.3), (4.4) определить функции и для всех слоев основания. По формулам (3.16) можно найти трансформанты напряжений и перемещений в любом слое основания, а затем и искомые напряжения и перемещения в произвольной точке основания при помощи соответствующих формул обращения (2.2) для интегральных преобразований Ханкеля нулевого и первого порядков. Условимся обозначать через перемещения и напряжения в -м слое основания, соответствующие силе , которая приложена к точке (0,0,0) поверхности основания. Если величина силы , то ей соответствуют перемещения и напряжения в раз больше, т.е. . Если же сила приложена в точке поверхности основания, то

 

.

 

Чтобы получить решение поставленной в начале параграфа первой граничной задачи для многослойного основания, нужно воспользоваться принципом независимости действия сил, который имеет место в линейной теории упругости (при отсутствии объемных нагрузок). Согласно принципу напряжения и перемещения в упругом теле, на которое действуют несколько систем уравновешенных нагрузок, можно получить путем суммирования напряжений и перемещений, отвечающих каждой из рассматриваемых систем. В частности, если многослойное основание действуют две нормальные силы и , приложенные соответственно в точках то

 

.

 

Аналогичные соотношения имеют место и для остальных компонент вектора перемещений, а также для компонент тензора напряжений. Если же на многослойное основание действует распределенная по области нагрузка (считаем ее знакопостоянной и непрерывной в ), то область следует разбить на большое число частей с малыми диаметрами выбрать произвольную точку в каждой из областей и заменить действие нормальной нагрузки в на многослойное основание (величина главного вектора этой нагрузки примерно равна , где – площадь части ) на сосредоточенную нагрузку , приложенную в точке и статически эквивалентную распределенной по области нагрузке . Согласно принципу Сен-Венана на расстояниях порядка от области истинные напряжения и перемещения в многослойном основании, соответствующие приложенной в нагрузке , будут незначительно отличаться от напряжений и перемещений, соответствующих сосредоточенной нагрузке . Поэтому для внутренних точек основания согласно принципу независимости действия сил можно написать приближенное равенство

 

(8.1)

 

где – перемещение , соответствующее заданной нормальной нагрузке в области . Чем больше и меньше диаметры частей области , тем точнее последнее равенство. В пределе при , когда все , получаем точное равенство. Установим его вид. Правая часть приближенного равенства (8.1) является интегральной суммой Римана для функции по переменным функции и непрерывны по переменным и (первая по предположению, а вторая для внутренних точек основания по физическому смыслу), поэтому функция в интегральной сумме Римана непрерывна по переменным и , следовательно, интегрируется. При , когда все – в пределе из (8.1) получим

 

. (8.2)

 

Аналогичные равенства можно написать и для остальных искомых напряжений и перемещений. Например

 

. (8.3)

 

Чтобы получить формулы для напряжений и перемещений в точках верхней границы основания, нужно в формулах (8.2) и (8.3) положить и перейти к пределу при . Формулы (8.2), (8.3) и им подобные дают решение первой пространственной граничной задачи для многослойного основания, поставленной в начале параграфа.

Заметим, что требование ограниченности области не является принципиальным. Область может быть не ограниченной. В этом случае интегралы в правых частях формул (8.2) и (8.3) должны рассматриваться как несобственные.

Частным случаем трехмерной деформации многослойного основания является плоская деформация. При плоской деформации, которой соответствует в двух разных поперечных сечениях основания, перпендикулярных оси , напряжения и перемещения одинаковы, т.е. являются функциями переменных и . Отсюда следует, что напряжения

 

.

 

Остальные компоненты тензора напряжений не равны тождественно нулю. Ясно, что нагрузка , вызывающая плоскую деформацию многослойного основания не должна зависеть от координаты , т.е. при фиксированном одинакова для всех точек прямой, параллельной оси .

Случаи плоской деформации основания часто встречается в инженерной практике, поэтому рассмотрим его более подробно. Ограничимся определением прозводных от перемещений в основании, так как при плоской деформации основания с неограниченным по толщине упругим слоем, (т.е. полупространством) перемещение является неограниченной величиной [8] при всех и , а указанные производные от перемещений ограничены для всех видов оснований. Знание производных от перемещений позволяет определить при помощи закона Гука напряжения в основании. Решив вспомогательную осесимметричную задачу о действии нормальной сосредоточенной силы на многослойное основание, получим перемещения и в виде интегралов Ханкеля

 

где – расстояние от оси до точки, в которой определяются перемещения и – трансформанты Ханкеля перемещений, которые соответствуют функции .

Перемещения связаны с и следующими соотношениями (см. рис. 8.1)

 

Здесь использована известная из §1 формула .

Заметим, что для внутренних точек основания можно обосновать перестановку операций дифференцирования и интегрирования. В дальнейшем указанные операции будем переставлять, не делая специальных оговорок.

 

 

Рисунок 8.1 – Иллюстрация соотношения перемещений

 

Для из предыдущих формул получаем

 

 

Пусть плоская деформация основания вызывается нормальной нагрузкой интенсивности , равномерно распределенной вдоль оси и направленной вверх. На основании принципа независимости действия сил

 

.

 

Положим и учтем, что функция является четной относительно переменной , тогда будем иметь

 

 

Полученный результат вытекает из формулы (1.14), к которой следует применить обратное преобразование Ханкеля нулевого порядка. С учетом последнего равенства, получаем

 

.

 

При помощи последних формул нетрудно получить решение произвольной первой граничной задачи плоской теории упругости для многослойного основания, если снова воспользоваться принципом независимости действия сил. Пусть, например, на поверхности основания с гладкими слоями известны напряжения . Функцию простоты ради считаем четной и абсолютно интегрируемой функцией в области определения. Тогда на основании принципа независимости действия сил формально можно написать

 

 

Учитывая, что интеграл от нечетной функции по промежутку равен нулю, получаем

 

.

 

Аналогичным образом устанавливаем, что

 

.

 

Принимая во внимание, что функции и соответствуют и что трансформанты и для произвольной вспомогательной функции имеют структуру , приходим к следующим формулам для искомых величин

 

. (8.4)

 

Подобные формулы можно получить и для напряжений.

В заключение параграфа опишем алгоритм решения первой граничной задачи полоской теории упругости для основания с гладкими слоями, на поверхности которого заданы напряжения , где – четная функция.

1. Определяем функцию по формуле .

2. Строим функцию податливости для рассматриваемого многослойного основания, а затем определяем функцию по формуле

 

.

 

3. Находим для -го слоя функции и при помощи рекуррентных соотношений (4.3), (4.4).

4. Находим функции

 

 

при помощи формул (3.16), (3.17).

5. Определяем искомые величины по формулам (8.4), а напряжения по таким формулам:

 

(8.5)

 

Нужно отметить, что для абсолютно интегрируемых функций в области формулы (8.4), (8.5) для производных от перемещений и напряжений можно использовать лишь для внутренних точек многослойного основания. Для точек границы следует вычислить пределы при правых частей (8.4) и (8.5), считая .





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 470; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.053 сек.