Евклидовы пространства

Определение 1. Линейное пространство E = {f, g, h, …} называется евклидовым, если

ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением: . При этом, для выполняются аксиомы:

Имеет место

Неравенство Коши – Буняковского – Шварца:

{ }

По определению, длиной элемента называется: , а косинусом угла между двумя элементами: (В силу неравенства К – Б – Ш это определение корректно)

Отсюда легко получить, что

Примеры. 1)

Определение 2. Линейное пространство N называется нормированным, если N ставится

в соответствие число , называемое нормой элемента ,иудовлетворяющее условиям:

Свойство (3) называется неравенством треугольника, а норма есть обобщение понятия ‘длина’.

Примеры. 1) Абсолютная норма:

2) Средняя или евклидова норма:

В нормированных евклидовых пространствах косинус угла между векторами обычно записывают в виде

Дата добавления: 2014-12-16