Карно теоремасы 3 страница

4. Төрт тиынның әр қайсысы 100-ден кем емес шәкілдеуік, төртеуі бірігіп 2009 шәкілдеуік жеген. Бірінші тиынның жеген шәкілдеугінің саны ең көп, ал екінші мен үшінші тиындар бірігіп 1265 шәкілдеуік жеген болса тиындардың әр қайсысы неше шәкілдеуік жеген?

5. 15 оқушының оқулықтарының біріккен саны 100 болса олардың кемінде екеуінің оқулықтарының саны тең болатынын дәлелде. Жауап: 160 рет

Онсегізінші нұсқа

1. 1000 теңгені бірлік, ондық, жүздіктерден тұратын 40 дана ақшамен төлей аламыз ба? Ақша саны 46 болса ше?

2. Былтырғы қалалық олимпиадаға қатысушылардың әр қайсысында олимпиадаға қатысушылардың ішінен жеті таныстары болған. Биыл қатысушылар саны он жетіге артқан болса қатысушылардың әр қайсысында олимпиадаға қатысушылардың ішінен тоғыз таныстары болуы мүмкін бе?

3. Тирге келген адам кассаға 100 теңге салады. Оның ақшасы әрбір дәл тигізгені үшін 10%-ға артып, әрбір мүлт кеткені үшін 10%-ға кеміп отырады. Бірнеше атқаннан кейін оның ақшасы 80 теңге 19 тиынға тең бола ала ма?

4. Жазықтықтағы А, В, С және О нүктелері <АОВ + <ВОС =3·<АОС шартын қанағаттандыратындай етіп орналасқан. Егер АОВ, АОС, ВОС бұрыштарының ішінде өзара тең бұрыштар болмаса, онда АОВ, ВОС бұрыштарының биссектрисаларының арасындағы бұрыштарды табыңдар.

Жауабы: 135º.

5. Төрт таңбалы А санының бір цифрын өшіргенде шығатын үш таңбалы төрт санның қосындысы 2004 болса А санының ең үлкен және ең кіші мүмкін мәндерін тап.

6. Ыдысты ыстық судың шүмегі 23 минутта, суық судың шүмегі 17 минутта толтырады. Марал бірінші ыстық судың шүмегін ашты. Ыдыс толғанда ондағы ыстық су суық судан 1,5 есе көп болу үшін Марал суық судың шүмегін ыстық судыкінен неше минут кейін қосты?

VIІ-VIII сынып

Бірінші нұсқа

1. болатын барлық а, b, с сандарын тап.

2. “Астана” сөзін әртүрлі неше тәсілмен оқуға болады.

Т А С Н А Т А А С Н Т А

Оқылатын бағыт: Сол жақтағы А-дан бастап оңға қарай бастап келесі бағанның кез келген әріпіне келуге болады.

Нұсқау: Есепті сол жақтағы А-дан әр бағаннан бір әріпті баса отырып оң жақтағы А-ға жететін қанша маршрут болатынын табу есебіне келтірейік. 3-бағандағы әр бір Т-әріпіне 2-бағандағы С-әріптерінің әр қайсысынан баруға болады. Немесе әр Т-ге баратын 2 мүмкіндік бар. Т әріпінің әр қайсысынан 2 маршрут шығатындықтан 4-ші бағандағы А әріптерінің әр қайсысына 6 маршрут келе алады.

3. Не 7-ге, не 11-ге, не 13-ке, не 37-ге (7;11,13,37 нің кемінде біреуіне) бөлінетін алты таңбалы санның алдыңғы цифрын соңына ауыстырғанда шығатын сан да сол санға бөлінетінін дәлелде.

Нұсқау: 6 таңбалы санды деп алайық. немесе болса саны да 7-ге бөлінетініне көз жеткізу керек. 7 саны 10 мен, сондай-ақ 10⁶=100000 санымен өзара жәй. Сондықтан 1000000 саны 7-ге бөлінсе саны да 7-ге бөлінуге тиісті. Бұдан 7-ге бөлінсе саны да 7-ге бөлінетіні дәлелденеді.

13, 37-ге бөлінгіштігі осымен бірдей дәлелденеді. Ал 11-ге бөлініштігі 11-ге бөлініштік белгісі немесе (а+с+е)-(b+d+f) айырмасы 11-ге бөлінсе саны 11-ге бөлінетінінен шығатын болады.

4. 2010 санын қосылғыштардың жазылуында барлық он цифр бір бір рет кіретіндей бірнеше натурал сандардың қосындысына ажыратуға бола ма?

Нұсқау: Есеп шарты орындалады деп көрсек 2010 саны мен оған тең болатын қосындының 9-ға бөлінгіштік қасиеті бірдей болу керек 2010 санын 9-ға бөлгендегі қалдық 3-ке тең болады да есеп шарты бойынша жазылатын қосынды 9-ға бөлінуге тиісті екеніне көз жеткізу керек.

Екінші нұсқа

1. а) 183, б) 2010 сандарын қосылғыштардың айырмасы бірден аспайтындай бірнеше қосылғыштардың қосындысына әр түрлі неше тәсілмен қоюға болады. (Қосылғыштардың орыны ескерілмейді)

Нұсқау: Қосылғыштар саны мен қосылғыштардың арифметикалық ортасының арасындағы байланысты анықтау керек.

Мысал: Қосылғыштар саны десек Бұдан 201-ге тең 10 қосылғыштың қосындысына қойуға болады да басқа шешім болуы мүмкін емес. Себебі егер 200-ге тең қосылғыш бар деп көрсек 202 ге тең қосылғыш болу керек 202-200=2 болып, есеп шартына қайшы келеді. Ал n=9 десек = немесе 670=223+223+224 болатынын пайдаланамыз.

2. 5х5 шаршының центріндегі көзді алып тастап, қалған бөлікті 2 бөлікке бөліп 2·2·2 кубының жазбасын жаса

Нұсқау: 2х2 өлшемді 6 квадраттан құрастыруға болатын барлық фигуралармен берілген квадратты екі тең бөлікке бөлу мүмкіндіктерінің әр қайсысын өзара салыстырып көріп қортынды жаса

3. Үш әртүрлі цифр арқылы жазылған бес таңбалы сан берілген. Цифрлардың орнын ауыстырғанда неше әртүрлі бес таңбалы сан пайда болады.

Нұсқау: Есеп шарты бойынша әр санда белгіленген үш цифрдың әр қайсысы кемінде бір рет кірген болуы шарт.Сондықтан үш әртүрлі цифр арқылыжазылған бес таңбалы сан үшін ( ) екі мүмкін жағдайдың әр қайсысына қорытынды жаса.

4. болатын үш таңбалы барлық санды тап.

Нұсқау: теңдігінен

және теңсіздігін дәлелдеп, A- ның мәні 1-ден артық бола алмайтынына көз жеткізіп, болғандағы шешімдерді тап.

Үшінші нұсқа

1. саны бүтін санның квадраты бола алмайтынын дәлелде.

Нұсқау: Бүтін санның квадраты болатын сан бүтін квадрат болмайтын қандай бір санға бөлінсе сол санның квадратына да бөлінуі керек. Берілген сан 111-ге бөлінетінін көрсет 111²-не бөліне ма?

2. -лер шартын қанағаттандыратын натурал сандар болса айырмасының ең үлкен мәнін тап.

3. 5х6 кестесінің қандай да түріндегі фигуралардың көздеріндегі сандардың қосындысы 4-ке тең болса кестенің барлық көздеріндегі сандар 1-ге тең болатынын дәлелде. (Бұл фигураның айналдыруға болады)

Нұсқау: а) Кестедегі сандар теріс емес сан болған жағдайда дәлелде. Кері жору тәсілін қолдансақ қандай бір таңдалған 4 көздікте 0-саны және 2 саны болуы шарт. Бұл мүмкін емес екенін көрсету

б) Кестедегі сан бүтін (оң және теріс) сан болған жағдайды қарастыр. Бұл кезде қандай бір төрт көзінде өзара тең емес а және b сандары болады деп көріп қайшылыққа келтіру керек.

4. Үштен артық емес жай көбейткіші болатын санды „ұйғарылған“ сан деп атайық. 15!=1∙2∙…∙15 асықтан әрбір ойыншы „ұйғарылған“ санды асық алып ойнайды. Бұл амалды орындау мүмкіндігінен айырылған оқушы жеңіледі. Дұрыс ойнаса қай ойыншы жеңеді.

Нұсқау: 15!-саны 16-ға бөлінеді. болғандықтан 16 саны ұйғарылған сан емес. Сондықтан І ойншы алғашқы жүрісінде берілген санның 16-ға бөлігіштік қасиетін сақтап асық ала алмайды және осы мүмкіндікке екінші ойыншы қол жеткізе алатынына көз жеткіз. Ол үшін 16-ға бөлінбейтін сандардың 16-ға бөлгендегі мүмкін қалдықтарының барлығы „ұйғарылған“ сан болатынын анықта.Бұдан екінші ойыншы өзінің кезекті жүрісінде санның 16-ға бөлінгіштік қасиетін сақтай отырып жеңіске жететінін дәлелде.

Төртінші нұсқа

1. 100-ге дейінгі натурал сандарды бүтін санның кубы болатын бес санның қосындысы түрінде қоюға болатынын дәлелде. Бұл тұжырым жалпы жағдайда орындалатынын көрсет

2. шартын қанағаттандыратын саны қанша болады

3. 6х6 кестесіне 1-ден 36-ға дейінгі сандарды әр бір

түріндегі бейнеге жазылған төрт санның қосындысы 9-ға бөлінетіндей жазуға бола ма?

Нұсқау: 6х6 кестені берілген 4 көзді мейілінше аз фигурамен бүркеу (қиылысуға болады) Есеп шартын қанағаттандыратын қандай бір мысал не есеп шарты орындалуы мүмкін еместігін дәлелдеу (жалпы жағдайда) қажет.

4. Қорапта 300 тас бар. Екі ойыншы қораптағы тастардың жартысынан артық емес тас алып ойнайды. Өз кезегінде тас алу мүмкіндігінен айырылған ойыншы жеңіледі. Дұрыс ойнаса қай ойыншы жеңеді.

Нұсқау: Ең онында 1тас қалса келесі ойыншы тас алу мүмкіндігінен айырылып жеңілуге тура келеді.Сондықтан да түріндегі санды тас қалатыдай жүріс жасай алған ойыншы жеңіске жететініне көз жеткіз. Осы мүмкіндікті І ойыншы алғашқы жүрісінде 45 тас алу арқылы өзіне алуға болатынын көрсет.

Бесінші нұсқа

1. {1,2,3,...,33,34} сандарынан ең кемінде неше санды алып тастасақ қалған сандардың көбейтіндісі бүтін санның квадраты бола алады.

Нұсқау: 1∙2∙3∙...∙34=34! санын жай көбейткішке жіктеу. Әр жай көбейткіштің дәрежесі жұп болатындай етіп қандай сандарды алу шарт екенін анықтау керек.

2. АВС үшбұрышының ВС қабырғасының орта нүктесі М нүктесі, ⁰ ° болса а) бұрышын тап. б) болатынын дәлелде.

3. 15 санын үш натурал санның қосындысына 15=1+5+9=2+6+7=3+4+8 деген әр түрлі үш жағдайда қойуға болады. Бұдан D(15)=3 деп белгілесек: а) D(41), б) D(301) санын тап. Жауап: D(41)=86 D(301)=60.

4. Жеткілікті санды үштік және бестік ақшалар бар. 7-ден артық қандай да бүтін санмен бағаланатын затты ақша қайтарымсыз сатып алуға болатынын дәлелде.

Нұсқау: теңдеудерінің шешімі кез келген n-үшін болатынын дәлелдеу керек.

Алтыншы нұсқа

1. Цифрларының біреуін өшіргенде пайда болатын үш таңбалы төрт санның қосындысы 2010 болатын ең үлкен және ең кіші 4 таңбалы санды тап.

Нұсқау: 4 таңбалы санды десек: Бұдан саны 10-ға бөліну керек. Және Бұдан болған жағдайларды қарастыру шарт.

2. 5х41 кестесінің барлық көздерін ақ және қара реңмен қалай боясақ та қыйылысуындағы 9 көз бірдей реңмен боялатын үш жол, үш баған табылатынын дәлелде.

Бес көзді екі реңмен бояудың әр түрлі 8 мүмкіндігі болатынына көз жеткіз.

3. Сабаққа келмеген оқушылардың саны келген оқушылар санының бөлігіне тең еді. Бір оқушы ұрықсат алып кеткеннен кейін жоқ оқушылар саны сабақта отырғандардың санының бөлігіне тең болған болса сыныпта қанша оқушы болған?

4. а) Бірдей 6 асықты иіргенде неше әр түрлі тәсілмен түсуге болады? б) Егер асықтар әртүрлі түске боялған болса ше?

Нұсқау: а) Асық түсу мүмкіндігі төртеу болатындықтан бұл есепті бірдей 6 асықты әртүрлі 4 қорапқа орналастыру санын табу, немесе 1, 2, 3, 4 цифрлары арқылы цифрлары кемімейті ретпен жазылған (1111, 1123, 1234 д.с) неше алты таңбалы сан жазуға болады деген есептерге келтіріп шешуге болады. Жауап: 84.

б) Әртүрлі 6 асықты әртүрлі 4 қорапқа орналастыру саны, немесе 1, 2, 3, 4 цифрлары арқылы неше 6 таң-балы сан жазуға болады деген есепке келеді.

Жетінші нұсқа

1. Тақтада тізбектелген 10 сан жазулы тұрды. Олардың біреуін өшіргеннен кейін қалған сандардың қосындысы 2010-ға тең болады тақтада қандай сандар қалды?

2. Болат 20 тапсырмалы тестні орындап орташа 3,5 ұпай алды. Неше сұрақтың ұпайын 1-мен арттырса оның орташа ұпайы 4 болады?

3. Сыныпта 30 оқушы бар. Әр бір оқушыға k оқушы ұнайды. k ең кем дегенде нешеу болса осы сыныптан бірін бірі ұнататын кемінде бір пар табылады?

Нұсқау: Есеп шарты орындалмайтындай жолдануға болатын хат санының ең үлкен мәні болатынына көз жеткіз. Жауап:

4. Ұзындығы 30 см АВ кесіндісінде тізбектей K, L, M, N нүктелерін AL = MB = 11 см, КМ = 13 см, LN = 15 см болатындай етіп алсақ көрші пар нүктелердің арақашықтықтарын анықта

Сегізінші нұсқа

1. x натурал саны үшін екеуі жалған 2х > 70, x < 100, 3x > 25, x ≥ 10, x > 5 теңсіздіктерінің, үшеуі ақиқат болса х-тің мүмкін мәндерін тап.

Нұсқау Егер 1-ші теңсіздік ақиқат болса, онды соңғы үш теңсіздіктің үшеуі де ақиқат болатынына көз жеткіз. Сондықтан 1-ші жалған болуы шарт.

a	b
c	d

2. Тіктөртбұрышты екі түзу арқылы төрт кішкентай тіктөртбұрыштарға бөлгенде олардың үшеуінің ауданы 1см², 2см², 3см² болған болса берілген тіктөртбұрыштың ауданы ең кем дегенде неше см² болады?

Нұсқау: Бөлгенде шыққан төрт тікбұрыштың аудандарын а;b;c;d десек және олар төменгідей орналасса ad = b∙c болатынына көз жеткіз. а;b;c үшеуі белгілі десек болатынын пайдалан.

3. n, m-дер n + m = 2 болатын өзара тең емес сандар болса m∙n<1 болатынын дәлелде.

Нұсқау: mn<1 теңсіздігі mn-1<0 теңсіздігімен мәндес және есеп шартынан n = 2 – m болатынын пайдаланып теңсіздікті –(m – 1)² < 0 теңсіздігіне келтір.

4. Шеңбер бойында тізбектелген үш сан берілген. Шеңбер бойында тізбектей орналасқан әр бір екі санның ортасына олардың қосындысын жазып шығады. Осы әрекетті бес рет орындағаннан кейін шеңбер бойындағы барлық сандардың қосындысы 4374 болған болса алғашында қандай үш сан болған

Нұсқау: Әр амалдан кейін шеңбер бойындағы сандардың саны 2 есе, сандардың қосындысы 3 есе өсіп отыратын заңдылықты анықта.

Жауап: 5; 6; 7

Тоғызыншы нұсқа

1. 1, 2, 3, 4, 5,..., 96, 97, 98 сандарын әр бөліктегі ең үлкен сан сол бөліктегі басқа сандардың қосындысына тең болатындай етіп бірнеше бөлікке бөлуге бола ма? Бір сан бір ғана бөлікке керуі шарт.

Нұсқау: Мұндай бөліктерге бөлуге болады деп көрсек, әр бөліктегі сандардың қосындысы жұп болатынына және берілген сандардың қосындысы тақ болатынына көз жеткізіп қортынды жаса.

2. Шахмат тақтасының көлденең жолдары мен тік бағандарындағы дойбылардың саны тақ болатныдай етіп әр көзге бірден артық емес дойбы орналастырған. Барлық қара көздердегі дойбылардың саны жұп болатынын дәлелде.

Нұсқау: 2-баған 3-жолдың қиылысуындағы көзді (2;3) деп белгілейік. Жол мен бағанның реттерінің қосындысы жұп болса қара, тақ болса ақ көз болатынын ескер. Мысал: (1;3)-қара (4;5)-ақ д.с Әр жол, әр бағанда тақ дойбы болғандықтан барлық дойбы жұп болатынын дәлелде. Керісінше қара көздегі дойбының саны тақ деп көрсек онда ақ көздегі дойбылардың саны да тақ болады да дойбы орналасқан барлық көздердің жол бағандарының реттерінің қосындысы тақ болуға тура келеді. Бұл мүмкін емес екенін анықта.

3. 199х991 өлшемді тіктөртбұрышты кестенің диагоналы неше көзді басып өтеді. (түсіндіріп жаз)

Жауап: 198+991=1189 көз

4. Үш таңбалы санның соңына қандай бір цифр қосып жазғанда алғашқы саннан 2009-ға артық сан шығатын болса үш таңбалы сан мен қосып жазылған цифрды табыңдар.

Нұсқау: Үш таңбалы санды х десек оның соңына y-ті қосып жазғанда шығатын сан 10х + у болады.

Оныншы нұсқа

1. x, y, z сандары болатын сандар болса

болатынын дәлелде.

2. Алқа сары, қызыл, көк, жасыл түсті 37 маржаннан тұрады. Алқада сары мен қызыл түсті маржандар қатар келмеген және көк пен жасыл түсті маржандар қатар келмеген болса бірдей түсті екі маржан қатар келетінін дәлелде.

Нұсқау: Қызыл мен сары түсті маржандарды цифрымен, көк және жасыл маржандарды 2 цифрымен белгілеп алқаны шеңбер деп есептейік. Онда есеп шеңберге 37 дана 1 мен 2-ні орналастырғанда қатар орналасқан бірдей екі цифр табылатынын дәлелде.

3. АВС үшбұрышының В және С төбесіндегі бұрыштарының биссектрисаларының арасындағы бұрыш А төбесіндегі бұрышқа тең, В мен С төбесіндегі бұрыштардың айырмасы 18⁰ болса осы үшбұрыштың бұрыштарын тап.

Нұсқау:

Жауабы:

4. квадрат теңдеуінің түбірлері натурал сандар болса құрама сан болатынын дәлелде.

Жауабы:

Он бірінші нұсқа

1. a; b; c; d сандары үшін теңдігі орындалса болатынын дәлелде.

2. Шеңбер бойында орналасқан 1001 дана кішкене дөңгелектерге 6; 7; 8; 9 цифрларының қай бірін, қатар орналасқан екі дөңгелектегі сандардың қосындысы жай сан болатындай етіп орналастырған. Бірдей цифр жазылған қатар орналасқан екі дөңгелек табылатынын дәлелде.

Нұсқау: 6, 7 цифрлары жазылған дөңгелек қызылмен, 8, 9 цифрлары жазылған дөңгелекдерді көк түспен бояйық. Бірдей түсті екі дөңгелек табылатынын дәлелде.

3. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрышының төбесі арқылы өтіп, осы үшбұрышты тең бүйірлі екі үшбұрышқа бөлінетін түзу табылатын болса үшбұрыштың бұрыштарын тап.

Дата добавления: 2014-12-16