КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод наименьших квадратов. Пусть для исходных данных xi, fi, i=1, ,N (нумерацию лучше начинать с единицы), выбран вид эмпирической зависимости: с неизвестными коэффициентами
Пусть для исходных данных xi, fi, i= 1 ,…,N (нумерацию лучше начинать с единицы), выбран вид эмпирической зависимости: с неизвестными коэффициентами . Запишем сумму квадратов отклонений между вычисленными по эмпирической формуле и заданными опытными данными: . Параметры будем находить из условия минимума функции . В этом состоит метод наименьших квадратов (МНК). Известно, что в точке минимума все частные производные от по равны нулю: (1) Рассмотрим применение МНК для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим полином . Формула (1) для определения суммы квадратов отклонений примет вид: (2) Вычислим производные:
Приравнивая эти выражения нулю и собирая коэффициенты при неизвестных , получим следующую систему линейных уравнений:
Данная система уравнений называется нормальной. Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты . В случае полинома первого порядка m=1, т.е. , система нормальных уравнений примет вид:
При m=2 имеем:
Как правило, выбирают несколько эмпирических зависимостей. По МНК находят коэффициенты этих зависимостей и среди них находят наилучшую по минимальной сумме отклонений. Пример. Заданы координаты точек:
т.е. N=6. Требуется найти эмпирические зависимости: линейную , квадратичную , гиперболическую по методу МНК и выбрать среди них наилучшую по наименьшей сумме квадратов отклонений. Система нормальных уравнений для линейной зависимости:
Учитывая, что N=6, , получим
Решая систему линейных уравнений, получим . Следовательно, линейная зависимость имеет вид: .
Вычислим сумму квадратов отклонений: . Рассмотрим квадратичную зависимость. Система нормальных уравнений имеет вид
Найдем неподсчитанные суммы:
Решая СЛАУ, получим Следовательно, квадратичная зависимость имеет вид: . Вычислим сумму квадратов отклонений: . Выпишем систему нормальных уравнений для гиперболической зависимости. Согласно МНК находим сумму квадратов отклонений: . Составляем систему нормальных уравнений:
Или
Учитывая, что , получим
Сумма квадратов отклонений: Из трех зависимостей выбираем наилучшую, т.е. квадратичную.
Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 477; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |