Дискретные передаточные функции

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ

Для анализа и синтеза импульсных систем используется математический аппарат разностных уравнений и дискретного преобразования Лапласа. Частными случаями преобразования Лапласа являются -преобразование и -преобразование.

При описании решетчатых функций невозможно использовать

такое понятие как "производная". А для определения скорости

используется понятие "разности".

Пусть имеется решетчатая функция , тогда разность, характеризующая скорость изменения функции:

.

Для определения ускорения используется вторая разность:

и т.д.

Дискретные системы можно описывать разностными уравнениями и дискретными передаточными функциями.

Аналогом преобразования Лапласа в дискретных системах является дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ).

ДПЛ:

;

;

ДПФ (дискретное преобразование Фурье):

ДПФ является периодической функцией частоты, причем, период равен .

Доказательство:

.

Т.о., все частотные характеристики импульсных систем

являются периодическими функциями частоты с периодом .

При построении частотных характеристик достаточно

рассмотреть интервал или с учетом их

симметричности .

При рассмотрении корней характеристического уравнения также необходимо рассмотреть полосу

от до .

Дискретной передаточной функцией системы является отношение ДПЛ выходной координаты к ДПЛ входной координаты

при нулевых начальных условиях:

или или

Решение разностных уравнений производится с использованием прямого и обратного преобразования. При этом от разностного уравнения вначале переходят к уравнению, полученному путем применения к каждому члену уравнения преобразования. После этого находится изображение решения уравнения и по таблицам обратного дискретного преобразования Лапласа искомое решение в виде решетчатой функции. Для решения разностных уравнений необходимо

иметь выражения для изображения смещенной решетчатой

функции:

, m=1,2,3,...

,

а также смещенные изображения разностей:

.

Изображение смещенной решетчатой функции:

Отсюда .

Изображение первой разности:

.

Изображение второй разности:

.

Пример.

Решить разностное уравнение:

при .

.

Дата добавления: 2014-12-16