Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Знаходимо точки перетину побудованих ліній





Взаємний перетин поверхонь

Перетин поверхонь між собою приводить до утворення ліній – кривих чи прямих, які є геометричним місцем точок, спільним для обох поверхонь. Ці лінії називаються лініями взаємного перетину або лініями переходу. Для побудови лінії перетину потрібно відшукати такі точки, які належали б одночасно двом заданим поверхням, що перетинаються. З’єднавши ці точки в певній послідовності, одержимо шукану лінію перетину. Лінії взаємного перетину можуть бути плоскими і просторовими.

Для визначення точок, які належать лінії перетину поверхонь тіл, застосовують метод посередників. Посередником може бути площина або сфера (спосіб площин і спосіб сфер). Спосіб допоміжних площин є універсальний і може успішно використовуватися в більшості випадків . Деколи при взаємному перетині поверхонь обертання більш простий розв’язок може дати спосіб сфер.

 
 


Рисунок 3.22

Алгоритм розв’язку задачі на визначення лінії перетину двох поверхонь наступний:

1) вводимо допоміжну січну площину, яка перетинає кожну із заданих поверхонь за найбільш простими та вигідними для побудови лініями;

2) визначаємо лінії перетину допоміжної площини із кожною із заданих поверхонь;

 

Принцип допоміжних сферичних перерізів грунтується на тому, що сфера з центром на осі будь-якої поверхні обертання перетинається з нею по колу, яке лежить в площині перпендикулярній до осі тіла (рис 3.23).

Якщо вісь тіла обертання паралельна одній із площин проекцій, тоді коло спроектується на дану площину проекцій у вигляді відрізка прямої, яка перпендикулярна до однойменної проекції осі тіла обертання.

 

а) б) в)

Рисунок 3.23 — Перетин: а) кулі з циліндром, б) кулі з конусом, в) взаємний перетин двох сфер

Задача 9 Побудувати проекції лінії перетину призми та прямого кругового конуса (рис. 8.3).

Розв’язок задачі подано на рис. 3.24,а,б,в,г у поетапному розв’язку, починаючи з умови задачі (рис. 3.24,а). У даному випадку лінія перетину буде складною. Вона складатиметься з кола, яке одержимо від перетину верхньої грані призми і конуса (рис.13.24,б) і двох парабол, що будуть мати спільні точки 9 і 10 (рис. 3.24,г). Вершини параболи будуть точками 3 і 4, пошук яких показано на рис. 3.24,в.

Для розв’язування цієї задачі і знаходження точок лінії перетину застосуємо допоміжну горизонтальну січну площину S. Така площина перетинає призму прямокутником, а конус ─ колом (рис. 3.24). Це добре видно з наочного зображення для побудови точок 5, 6, 7, 8 за допомогою площини S.За аналогією введемо ще одну січну площину D і знайдемо точки, які будуть належати лінії перетину. З’єднуємо у певній послідовності побудовані точки і дістаємо лінію перетину цих двох поверхонь – дві параболи, по яких бічні грані призми перетинають поверхню конуса.



           
   
а)
 
   
б)
 
 
Рисунок 3.24

 
 


Задача 10 Побудувати проекції лінії перетину двох поверхонь, одна з яких є круговий конус і фронтально-проекційний циліндр(рис. 3.25).

Розв’язок задачі подано на рис 3.25,а,б,в,г у поетапному розв’язку. Крайні ліва і права твірні конуса перетинаються з поверхнею циліндра у точках 1 і 2. За ними знаходимо 11 і 21. Точка 1 буде найвищою точкою перетину (рис. 3.25,б) . Найнижчі точки перетину 3 і 4 побудовані за допомогою площини j, яка дотикається до найнижчої твірної циліндра (рис. 3.25,б). Точки 5 і 6 розділяють видиму частину горизонтальної проекції лінії перетину від невидимої, визначені за допомогою горизонтальної площини a, яка проходить через середину циліндра.

Для побудови лінії перетину конуса і циліндра на рис. 3.25,г застосуємо допоміжні горизонтальні січні площини, які перетинають циліндр по прямокутнику, а конус — по колу. У результаті перетину кожного прямокутника відповідним колом одержимо точки лінії перетину поверхонь. З’єднаємо у певній послідовності побудовані точки і дістанемо просторову замкнену криву лінію перетину цих поверхонь. Невидима частина горизонтальної проекції лінії перетину зображена штриховою лінією.

 

           
   
а)
 
   
 
 

 

 


Задача 11 Побудувати проекції лінії перетину конуса та кулі (рис. 3.26).

Для побудови точок перетину цієї лінії також вибираємо допоміжні горизонтальні площини, які перетинають обидві поверхні по колах. Ці кола на горизонтальну площину проекцій проектуються у кола.

.

 
 
Рисунок 3.26

 

 


Спочатку, як і у попередніх задачах, знайдемо характерні точки. Точки 1 і 2 розташовані на перетині очеркових ліній фронтальної проекції і знаходяться у площині спільної симетрії поверхонь. Точки 3 і 4 знаходяться на екваторі кулі, знаходимо їх за допомогою площини a, яка перетинає кулю по екватору, а конічну поверхню — за відповідним колом. Горизонтальні проекції цих кіл перетинаються в точці 31 і 41. Вони лежать на лінії одного проекційного зв’язку до p2, тому на фронтальній площині проекцій співпадають. Решту проміжних точок знаходимо за аналогією за допомогою горизонтальних площин.

На фронтальній площині проекцій не завжди побудована крива видима (невидима її частина закривається видимою), половина її знаходиться на заданій стороні даних поверхонь. На горизонтальній проекції видима частина кривої відділяється від невидимої точками 3 і 4, що лежать на екваторі

Задача 12 Побудувати проекції лінії перетину циліндра з півкулею (рис. 3.27).

Насамперед знайдемо характерні точки:

а) у точках 3 і 4 крайні ліва і права твірні циліндра перетинаються з поверхнею кулі. Щоб знайти ці точки, застосуємо фронтальну площину b, яка проходить через середину циліндра і перетинає кулю по колу, а циліндр по твірних;

б) у точках 9 і 10 головний меридіан кулі перетинає твірні циліндра;

в) найближча точка 5 і найвіддаленіша від спостерігача точка визначається за допомогою січних площин j і D. Проміжні точки лінії перетину знаходимо за допомогою допоміжних фронтальних площин. Так площина S перетинає поверхню кулі по колу, а поверхню циліндра – по твірних. На перетині цих ліній знаходимо точки 7 і 8 (рис. 3.27).

Найвищу і найнижчу точки перетину лежать на горизонтально-проекційній площині Y, що проходить через вісь циліндра і центр кулі. З’єднавши всі отримані точки лінії перетину у певній послідовності, дістанемо шукану лінію перетину.

 
 
Рисунок 3.27


Задача13 Побудувати проекції лінії перетину двох конусів методом січних сфер (рис. 3.28).

Перетинаються два конуси обертання, осі яких розміщені в площині, яка є паралельною до площини p2. Для пошуку точок, які належать лінії перетину, використаємо допоміжні січні сфери, центри яких лежать на перетині осей конусів (точка1О) і кожна із сфер перетинає задані конуси по колах. Проекції кіл, по яких сфера радіусу r перетинає обидва конуси — відрізки прямої.

Характерними точками в даному випадку є точки, які лежать на перетині двох конусів. Це точки 1, 2, 3, 4.

Найменшою сферою буде сфера, яка є вписана в один із конусів і перетинає другий конус. Проводимо коло з центру О2 взявши його за проекцію кулі. Будуємо проекції кіл, по яких ця куля перетинається з одним із конусів – в, с і дотична до другого конуса, тому перетне по колу а. На перетині цих відрізків дістанемо точки 52º62 і 72º82.

Характерні точки 9, 10, 11, 12 знаходимо як точки перетину найближчої і найдальшої твірної конуса з колом, яке одержали від перерізу конуса горизонтальною площиною, проведеною через точку О. Спочатку знаходимо 91, 101, 111, 121, а за ними 92,1102, 112, 122. Для визначення проміжних точок, що належать лінії перетину, проводимо ще ряд січних сфер різними радіусами, але більшими ніж rmin.

 

Рисунок 3.28

 

Подвійний дотик. У таблиці 3.1 приведені окремі випадки прикладу поверхонь обертання другого порядку, де лінія перетину розпадається на дві плоскі криві, які перетинаються. У кожному з випадків дві поверхні другого порядку, що перетинаються, дотикаються до третьої поверхні кулі (також другого порядку).

При цій умові має силу теорема Монжа, згідно якої дві поверхні другого порядку перетинаються і результатом перетину є дві плоскі криві другого порядку, якщо вони описані навколо третьої поверхні другого порядку або вписані в неї.

 

Таблиця 3.1 – Лінія перетину поверхонь обертання другого порядку

 
 

 

 


У відповідності з цією теоремою лінії перетину двох циліндрів, двох конусів або циліндра з конусом, які описані навколо сфери, будуть плоскими кривими – еліпсами, фронтальні проекції яких є відрізками прямих (табл.3.1), на рисунку 3.29 винесеними перерізами є плоскі криві (еліпсів), які отримаємо при перетині циліндра з конусом, якщо останні описані навколо однієї і тієї ж кулі.

 
 
Рисунок 3.29


ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

 

1 У чому суть способу побудови лінії перетину двох поверхонь?

2 Що являє собою лінія перетину двох многогранників, двох кривих поверхонь?

3 Які лінії утворюються при перетині многогранників з кривими поверхнями?

4 Що називається лінією переходу?

5 Які точки належать до характерних або опорних при побудові лінії перетину двох поверхонь?

6 Якого положення і у яких випадках доцільно застосовувати допоміжні січні площини при перетині двох поверхонь?

7 Суть способу допоміжних сфер.

8 Де знаходиться центр допоміжних сфер?

9 Як визначається радіус мінімальної сфери?

10 На якому рисунку зображений внутрішній дотик фігур?

 

а) б) в)

 

11 На якому рисунку зображений внутрішній дотик фігур?

а) б) в)

12 Чим характеризується крива перетину фігур при їх внутрішньому дотику?

а) крива розпадається на дві окремі (або ламані), які не мають спільних точок;

б) крива (або ламана) має точки самоперетину в точках дотику поверхонь;

в) крива є замкненою просторовою кривою (або ламаною) і не має самоперетинів;

г) інша відповідь.

13 За яких умов відбувається внутрішній дотик фігур?

а) частина твірних (або ребер) однієї поверхні перетинається частиною твірних (або ребер) іншої;

б) всі твірні (або грані) однієї поверхні перетинаються з другою поверхнею;

в) поверхні, що перетинаються мають в одній або двох точках спільну дотичну площину;

г) інша відповідь.

14 На якому рисунку зображене часткове врізання фігур?

а) б) в)

15 Чим характеризується крива перетину фігур при їх частковому врізанні?

а) крива розпадається на дві окремі криві (або ламані), які не мають спільних точок;

б) крива (або ламана) має точки самоперетину в точках дотику поверхонь;

в) крива є замкненою просторовою кривою (або ламаною) і не має самоперетинів;

г) інша відповідь.

16 За яких умов відбувається часткове врізання фігур?

а) частина твірних (або ребер) однієї поверхні перетинається частиною твірних (або ребер) іншої;

б) всі твірні (або грані) однієї поверхні перетинаються з другою поверхнею;

в) поверхні, що перетинаються, мають в одній або двох точках спільну дотичну площину;

г) інша відповідь.

17 На якому рисунку зображене повне проникнення циліндра у конус?

а) б) в)

 

18 Чим характеризується крива перетину фігур при повному проникненні однієї в іншу?

а) крива розпадається на дві окремі криві (або ламані), які не мають спільних точок;

б) крива (або ламана) має точки самоперетину в точках дотику поверхонь;

в) крива є замкненою просторовою кривою (або ламаною) і не має самоперетинів;

г) інша відповідь.

 

19 За яких умов відбувається повне проникнення фігур?

а) частина твірних (або ребер) однієї поверхні перетинається частиною твірних (або ребер) іншої;

б) всі твірні (або грані) однієї поверхні перетинаються з другою поверхнею;

в) поверхні, що перетинаються мають в одній або двох точках спільну дотичну площину;

г) інша відповідь.

 

20 Яка з допоміжних січних площин проведена для визначення точки змін видимості горизонтальної проекції кривої перетину поверхонь?

 

а) α
б) β
в) γ
г) D
д) S

 

21 Яка з допоміжних січних площин проведена для визначення точки зміни видимості фронтальної проекції кривої перетину поверхонь?

а) α
б) β
в) γ
г) D
д) S

 

22 Яка з точок є вірно вибраним центром допоміжних сфер для визначення лінії взаємного перетину фігур?

а) А
б) В
в) С
г) D
д) F

 

23 Яка з точок є вірно вибраним центром допоміжних сфер для визначення лінії взаємного перетину фігур?

а) А
б) В
в) С
г) D
д) F

 

24 На якому рисунку правильно показана видимість фігур, які перетинаються?

 

 
 

 

 


а) б)

 

25 На якому рисунку правильно показана видимість фігур, які перетинаються?

 
 

 

 


а) б)





Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 5515; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2019) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.013 сек.