КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Кривой на плоскостиПолярная система координат. Способы задания
Выделим на плоскости произвольную точку О – полюс – и проведем числовой луч ОР – полярную ось. Расстояние от полюса до произвольной точки М обозначим ρ, а величину угла, на который нужно повернуть ОР, чтобы совместить с ОМ, обозначим через φ. Будем считать φ положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М: (ρ – полярный радиус, φ – полярный угол). Принято считать, что или а полюс имеет нулевые полярные координаты. Если заданы одновременно прямоугольная система координат xOy и полярная с полярной осью Ox, то можно установить связь между прямоугольными (x, y) и полярными (ρ, φ) координатами точки М на плоскости с помощью следующих формул: (13) (14) Можно рассматривать уравнения кривых в полярных координатах: ρ = ρ (φ) или Ф (ρ, φ) = 0. Пример 1. Найти полярные координаты точек Решение. Точка лежит в 1-й четверти прямоугольной системы координат. Значит, полярный угол φ удовлетворяет условию 0 < φ < π /2, причем согласно первой формуле системы (14) Следовательно, что приводит к . Итак, . Точка B является внутренней точкой 3-й четверти прямоугольной системы координат, следовательно, (или ). Найдем полярный радиус (используем (14)): Тогда Значит, или . Таким образом, точку B в полярной системе координат можно задать как B или . Рассмотрим точку . Учитывая, что , а значит, , определяем, что точка С лежит во 2-й четверти прямоугольной системы координат. Ее полярный радиус, согласно (14), есть Для нахождения полярного угла φ поступим следующим образом. Найдем , затем, воспользовавшись тем, что наименьший положительный период функции y = tgx равен π, а угол φ удовлетворяет соотношению , получим Значит, . З а м е ч а н и е. При использовании формулы при нахождении полярного угла целесообразно изображать эти точки на чертеже (рис. 9).
Рис. 9 Пример 2. Зная полярные координаты точек , B , , найти их прямоугольные координаты. Решение. Используя формулы (13), находим прямоугольные координаты заданных точек. Значит, Значит, B (–1, 1). Значит, Пример 3. Зная полярные координаты точки ρ = 10, , найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится в точке А (2, 3), а полярная ось параллельна оси Ox. Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy, удовлетворяющую условию задачи (рис. 10). Тогда точка в этой системе координат определена, как М (xM, yM).
Рис.10 Очевидно, что Таким образом, в заданной прямоугольной системе координат точка М определена как Пример 4. Составить параметрические уравнения окружности x 2 + y 2 = 1, приняв за параметр угол между осью Ox и радиус-вектором где О – центр окружности, М – ее точка. Решение. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты , Тогда, по определению тригонометрических функций, где . Таким образом, получили параметрические уравнения окружности. Пример 5. Найти уравнение фигуры на плоскости в прямоугольных координатах, если она имеет следующее уравнение в полярной системе координат: 1) ρ = 4; 2) ; 3) ρ = 2cos φ. Решение. Для решения примеров будем использовать формулы (14).
1. Поскольку . Возводим в квадрат и получаем – уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 4. 2. Уравнение означает, что , причем точка с координатами (x, y) лежит в 1-й четверти. Значит, или . Получим уравнение луча с началом в точке (0, 0). 3. Заданное уравнение запишем в виде . Получили . Выделяем полный квадрат и приходим к уравнению , которое есть уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом r = 1.
Задания для самостоятельного решения
Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 673; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |