Дисперсійно-коваріаційна матриця параметрів рівняння регресії

Матрицю вигляду

, (4.27)

або

, (4.28)

де і - відповідно дисперсії і коваріації оцінок параметрів рівняння регресії, називають дисперсійно-коваріаційною матрицею параметрів рівняння регресії.

Елементи дисперсійно-коваріаційної матриці характеризують взаємозв’язок між двома змінними і величину відхилення значень змінних від їх математичного сподівання. У зв’язку з цим, оцінки дисперсійно-коваріаційної матриці можуть бути використані для обчислення стандартних похибок і довірчих інтервалів оцінок параметрів рівняння регресії.

Оцінки коефіцієнтів рівняння регресії, отримані за допомогою 1МНК, є незміщеними, тобто . Тому

. (4.29)

Виходячи із (4.4) і (4.25), отримуємо:

. (4.30)

На основі (4.27) і того факту, що - детермінована матриця, маємо:

(4.31)

Так як , то

, (4.32)

де - незміщена оцінка дисперсії відхилень, яка визначається за формулою:

. (4.33)

Таким чином, за допомогою матриці визначається вектор оцінок параметрів рівняння регресії , а також дисперсії і коваріації його компонент.

Приймемо позначення:

. (4.34)

Тоді елементи дисперсійно-коваріаційної матриці параметрів рівняння регресії можна розраховувати за формулами:

, (4.35)

, , (4.36)

де - елементи матриці , розташовані на головній діагоналі, а - елементи матриці , які не належать головній діагоналі.

За умовою прикладу 4.1 та з урахуванням виразів (4.33), (4.35) і (4.36) знайдемо оцінки коваріаційно-дисперсійної матриці .

Послідовно отримаємо:

;

;

.

Враховуючи, що

,

знаходимо:

; ; ;

; ; .

Від’ємне значення оцінки коваріації свідчить про те, що збільшення однієї оцінки параметра пов’язано із зменшенням середнього значення іншої і навпаки.

У результаті проведених вище розрахунків маємо таку дисперсійно-коваріаційну матрицю:

.

Дата добавления: 2014-12-16