Пример решения на ПЭВМ. Программное обеспечение

Программное обеспечение

Решение начально-краевой задачи для гиперболического уравнения в Matlab’е может быть построено с помощью среды PDE Tool. Приёмы работы с ней описаны в двух предыдущих разделах, посвящённых эллиптическому и параболическому уравнениям. Ниже, на примере решения конкретной задачи, будет показан процесс построения решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения с помощью PDE Tool.

Условия задачи. Найти решение начально-краевой задачи для параболического уравнения

,

,

где область S поиска решения показана на рис.2. На границе Г области S заданы следующие граничные условия

,

,

а начальные условия имеют вид

.

Решение. Процесс построения решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения в среде PDE Tool аналогичен описанному ранее для краевой задачи с параболическим уравнением.

Сначала задаётся система глобальных координат и рисуется область поиска решения (см. рис.3).

Рис.3.

После этого задаются граничные условия и гиперболическое уравнение, для чего они заранее приводятся к используемому в среде PDE Tool виду

,

,

.

На следующем шаге в области поиска решения помощью пункта меню Mesh формируется конечно-элементная сетка.

Затем в окне Solve Parameters задаются начальные условия и отрезок времени, на котором строится решение рассматриваемой задачи (см. рис.4). В этом же окне можно установить допустимый уровень относительной (Relative tolerance) и абсолютной (Absolute tolerance) погрешности решения задачи Коши

Для установки необходимой формы представления результатов расчёта следует воспользоваться пунктом меню Plot. В данном случае в окне Plot Solution активизированы строки Color, Height(3-D plot), Animation и Show mesh.

Последний шаг – построение конечно-элементного решения рассматриваемой задачи осуществляется с помощью пункта меню Solve PDE. Некоторые кадры получающегося мультипликационного изображения решения показаны на рис.5 для разных моментов времени.

Рис.5.

Контрольные задания

Методом конечных элементов получить решение начально-краевой задачи для гиперболического уравнения. Область поиска решения указана в соответствии с номером варианта на рис.6–15. Оценить погрешность получаемого решения.

Варианты 1–3 (рис.6).
1.
2.
3.
Варианты 4–6 (рис.7).
4.
5.
6.
Варианты 7–9 (рис.8).
7.
8.
9.
Варианты 10–12 (рис.9).
10.

11.
12.
Варианты 13–15 (рис.10).
13.
14.
15.
Варианты 16–18 (рис.11).
16.
17.
18.
Варианты 19–21 (рис.12).
19.
20.
21.
Варианты 22–24 (рис.13).
22.

23.
24.
Варианты 25–27 (рис.14).
25.
26.
27.
Варианты 28–30 (рис.15).
28.
29.
30.

Рис.6 (варианты 1–3).	Рис.7 (варианты 4–6).
Рис.8 (варианты 7–9).	Рис.9 (варианты 10–12).
Рис.10 (варианты 13–15).	Рис.11 (варианты 16–18).
Рис.12 (варианты 19–21).	Рис.13 (варианты 22–24).

Рис.14 (варианты 25–27).	Рис.15 (варианты 28–30).

Дата добавления: 2014-12-16