Ранг системы векторов

Св-во 4.1. Все МЛНП данной системы векторов (1) содержат одинаковое количество векторов.

Доказательство. Эти подсистемы линейно независимые и, по 3.9 они выявляются одна через вторую. Таким образом, 4.1 следует из 3.14. ■

Опр. 4.2. Количество векторов в МЛНП системы (1) называется рангом системы (1).

Св-во 4.3. Когда данные системы векторов (1) и (2) Ранги систем векторов (1) и (2) равные тогда и только тогда, когда, когда вектор выражается через систему (1). Доказательство. 1) Пусть выражается через (1), тогда (1) выражается через свою МЛНП, значиться, и выражается через МЛНП, значиться, МЛНП системы (1) является МЛНП системы (2). 2) Пусть ранги этих систем равные. Возьмем в (1) МЛНП. Она будет МЛНП в (2). Отсель следует, что выражается через МЛНП (1), значиться, выражается через (1). ■

Опр. 4.4. Элементарными преобразованиями системы векторов (1) называются: 1) Умножение произвольного вектора на ненулевой скаляр; 2) Добавление к произвольному вектора линейной комбинации остальных векторов. 3) удаление из системы векторов или приписывание к ней ненулевых векторов. 4) изменение порядка векторов в системе

Св-во 4.5. При элементарных преобразованиях ранг системы векторов не изменяется. Доказательство.1) Пусть применено первое преобразование. Получена система , где , тогда система (3) выражается ч/з систему (1), а система (1) выражается ч/з МЛНП (1), значит (3) и МЛНП (3) выражаются через МЛНП (1). Значит ранг системы (3) <= системы (1). Но из системы (3) можно получить (1): ранг системы (1) <= ранга системы (3). 2) Пусть из (1) получено . Тогда (4) выражается ч/з (1). Тогда ранг (4) <= ранга (1). Система (1) получается из (4) следующим образом: , тогда система (1) получается из (4) таким же преобразованием, что из (4) в (1). Значит ранг (1) <= ранга (4), значит ранг (1) = рангу (4). ■

Опр. 3.5. Подсистема системы , ,…, (1) называется максимальной линейно независимой подсистемой (МЛНП), когда она не удерживается ни в какой линейно независимой подсистеме, то есть, что 1) (4) - линейно независимая (условие независимости); 2) , , -линейно зависимая система (условие полноты).

Дата добавления: 2014-11-29