Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Базис линейного пространства. Определение и простейшие свойства




Азн. 5.1. Система векторов линейного пространства V над P , ,..., (1) называется базисом пространства V, когда исполняются 2 условия:

1) система (1) линейно независимая; 2) (условие полноты) " Î V $ l1, l2 ,…, ln ÎP = l1 + l2 +... +ln .

Азн. 5.2. Количество векторов в базисе называется размерностью пространства V над P. То, что пространство V имеет измеримость n обозначается n=dimpV, либо n=dimV.

Св-во. 5.3. Определение 5.2. корректное, то есть, что когда (2) и (1) - базисы V, тогда k=n. Доказательство. Все пространство выявляется через (1), значиться, (2) выявляется через (1), но (2) - линейно независимая, значиться (по 3.11) k £ n. Аналогично, n £ k, значиться, k=n.

Примеры. 1. Rn. Стандартный базис = , = ,..., = . Значит, dimR Rn =n.

2. Rn[x]. Базис 1, x, …, xn, значиться, dim R Rn [x]=n+1. 3. V2.. Произвольные 2 некалінеярныя векторы образовывают базис, dim R V2=2. 4. V3. Произвольные 3 некампланыя векторы образовывают базис, dim R V3=3. 5. V ={ }. По определению считаться, что dimP{ }= .

Св-во 5.4. Когда dim V =n, тогда каждая линейно независимая система векторов из V удерживает не более n векторов. Доказательство. Пусть (1) - базис V, - - линейно независимая система. По условию полноты она выявляется через базис, значиться, по 3.11, k £ n .■

Св-во 5.5. Произвольная минимальная (по количеству векторов) полная система векторов

образовывает базис. Доказательство. Пусть (2) - полная система векторов и минимальная. Надо доказать, что (2) - линейно независимая. От противного. Когда (2) - линейно зависимая, тогда, (по 2.13) существует вектор из (2), который выражается через остальные, скажем, . Тогда " Î V выражается через (2), а (2) выражается через .. Из этого (по 3.3) следует, что выражается через ,, значиться получили меньшую за минимальную полную систему векторов, что противоречить посылке.■

Св-во 5.6. Произвольная максимальная (по количеству векторов) линейно независимая система векторов образовывает базис. Доказательство. Пусть (2) - такая система. Надо доказать условие полноты: " Î V система - линейно зависимая (из максимальности), тогда по 3.4 выражается через (2).■

Следствие 5.7. Если dimPV=n, то любая линейно независимая система n векторов пространства V является базисом V. Доказательство. Возьмем систему из 5.5, значит она максимальна по числу векторов, а это значит из 5.6, это базис.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 532; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.