Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Матрица системы векторов. Определение и свойства




Пример 6.0. Рассмотрим пространство V2 и ее привычный базис , . Векторы = +2 , =3 +4 - неколлинеарные, значит они линейно независимые и образовывают базис V2. Вектор v =2 +6 - столбец координат X = в базисе , .. Найдем его координаты y1, y2 в базисе , .. По определению y1 + y2 = , откуда y1 ( +2 ) +y2 ( 3 +4 ) = 2 +6 , или ( y1+3y2 ) + ( 2y1+4y2 ) = 2 +6 . Поскольку , - базис, значит , из чего следует, что , откуда получаем ответ: Y = .

Опр. 6.1. V - линейное пространство над P, dim V =n, данный базис V, , (1) и произвольная система векторов (2). Пусть " i = + +… + = (3). Матрица А =()n´m называется матрицей системы векторов (2) в базисе (1). Внимание! Матрица системы векторов записывается по столбцам.

Пример 6.2. V 2. – базис. В этом базисе система векторов ; ; имеет матрицу A = . Система векторов в этом базисе моей матрицу , а система векторов ; - матрицу T = . Св-во 6.3. Матрица базиса относительно себя единичная.

Опр. 6.4. Пусть (1) и , ,…, (4) - базисы пространства V. Матрица системы векторов (4) в базисе (1) называется матрицей перехода к новому базису. (Матрицей перехода ли от (1) к (4), матрицей преобразования ли координат.)

Теорема 6.5. Матрица перехода от базиса к базису - невырожденная. Доказательство. (1) - базис, значит "k і А =() - матрица (4) в (1). Поскольку (4) – базис "j= . Когда В =(), тогда . Получили но (1) - базис, значит, когда i = j, тогда , а когда ij, j, тогда . Со второй стороны, , значит, , A×B = Еn. (5) – единичная матрица. Следует, что А и В - невырожденные и взаимно-обратные.

Вывод. 6.6. Матрицы перехода от (1) к (4) и от (4) к (1) - взаимно обратные. Доказательство. Сохраним обозначения док-ва 6.5. А – матрица перехода от (1) к (4), В – матрица перехода от (4) к (1). Из того, что A×B = Еn (5) – единичная матрица, значит, что В=А–1, А=В–1.

Тогда , значит, , и C = A×Y. ■  
Теорема 6.7. Когда А - матрица перехода от (1) к (4), и имеет в базисе (1) столбец координат , а в базисе (2) , тогда C = A×Y. Доказательство. Сохраним обозначения теоремы 6.5. Пусть и эти векторы имеют столбцы координат C, Y.

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 922; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.