КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Евклидовы пространства. Определение и свойства
|
|
|
|
Опр. 12.1. V- линейное пространство над R. Скалярным произведением V называется отображение (·; ·): V ´ V 
R, которое удовлетворяет следующим условиям: 1) 
Î V (
; 
)=(; ) (условие симметричности),
2) 
Î V ( + ; 
)=(; )+(; ), 3) 
ÎR Î V ( ; )= (; ), 4) 
Î V (; )>0, если 
. Простанство V, в котором заданно скалярное достояние, называется Евклидовым пространством. Если dim R V =n, тогда записывают V = ε n.
Пример 12.2. 1) V2 со скалярным произведением, который изучался в курсе геометрии: когда = 
+ 
, = 
+ 
(; )= + является Евклидовым пространством. 2) С [a;b]- множество неразрывных на [a;b] функций. Если f, g Î С [a;b], обозначим (f, g)= 
. Проверьте, что на С[a;b] заданное скалярное произведение, таким образом, С[a;b]- евклидово пространство.
Св-во 12.3. В произвольной Евклидовом пространстве: 1) Î ε (; )=(; )= ;
2) Î ε (; + )=(; )+(; ); 3) Î ε ÎR (; )= (; );
4) 
Î ε, 
ÎR (
; )= 
(
; );
5) 
Î ε 
ÎR (; 
)= 
(; 
).
Доказ. 1) (; )=(;0 )=0(; )=0 2) (; + )=( + ; )=(; )+(; )=(; )+(; )
3) (; )=( ; )= (; )= (; ). 4) ММІ па п. п =1 (
; )= 
(; ) па 12.1.3.
п =2 ( + 
; )=( ; )+( ; )= (; )+ (; ). Если справедливо для п, рассмотрим п +1. (
= 
)+(
; ) = (; )+ (; ) = 
(; ).
5) (; )= (; )= (; ) = (; )= (; ).■
Св-во 12.4. Пусть Е- Евклидово пространство, U – его линейное подпространство, тогда U со скалярным произведением, определенным на Е, явл. Евклидовым пространством.
Доказательство. Очевидно из определения 12.1. ■
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 363; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!