Ортогональные векторы и ортогональный базис

Геометрические теоремы в евклидовых пространствах

Т 12.16. Т-ма косинусов в Евклидовомпростр-ве Доказательство: .■

Теорема 12.17. (Неравенство треугольника в Евклидовом пространстве.) . Доказательство: Докажем правую часть неравенства:

. Докажем правую часть неравенства: ; ; .

При доказательстве два раза использовали неравенство Коши- Буняковского. ■

Теорема 12.18. (свойство паралелограмов в Евклидовом пространстве ) . Доказательство:

■

Тэарэма 13.5. (Теорема Пифагора в евклидовом пространстве) Когда , ортагональные векторы евклидового пространства, то .

Доказательство: . ■

Опр.13.1. Вектары евклидового пространства называются ортогональными, когда ()=0.

Св-во 13.2. В Евклидовом пространстве ε: 1. Нулевой вектор и только он ортогональное само сам;

2. Нулевой вектор и только он ортогональный всем векторам; 3. Когда вектор ортогональный векторам , тогда он ортогональный произвольной их линейной комбинации. Доказательство:

1) Когда = , то по 12.7.1 (, )=()=0; а когда ≠ , то по 12.7.4 (, )>0. 2) Когда =0, то по 12.7.1 (, )=(, )=0; а когда ≠ , то по 12.1.4 (, )>0. 3) Когда , то Î R по 12.3 имеем .■

СВ-во 13.3. Ненулевые векторы ортогональные тогда и только тогда, когда угол между ними равный .

СВ-во 13.4. Если попарно ортогональные ненулевые векторы Евклидового пространства, тогда они линейно независимые. Доказа: Пусть , то: ; ; ; . По условию , то по 12.1 (, )>0, откуда . Аналогично доказывается, что . ■

Тэарэма 13.5. (Теорема Пифагора в евклидовом пространстве) Когда , ортагональные векторы евклидового пространства, то .

Доказательство: . ■

Опр. 13.6. Базис в Евклидовом пространстве наз. ортогональным, если все его векторы попарно ортогональны.

Тэарэма13.7. Пусть векторы евклидового пространства имеют координаты соответственно, то . Доказ. Т.к , тогда . Т.к. базис ортогональный, , то: . ■

Дата добавления: 2014-11-29