Измерение вариации

Тема 8. Показатели вариации

Вариация - это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение и является необходимым звеном в экономическом анализе. Необходимость изучения вариации связана тем, что средняя, являясь равнодействующей, выполняет свою основную задачу с разной степенью точности: чем меньше различия индивидуальных значений признака, подлежащих осреднению, тем однороднее совокупность, а, следовательно, точнее и надежнее средняя, и наоборот. Следовательно, по степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию.

Изменение вариации признака в совокупности осуществляется с помощью абсолютных и относительных показателей.

Абсолютные показатели вариации включают: размах вариации (R), среднее линейное отклонение , дисперсию , среднее квадратическое отклонение .

Относительные показатели вариации представляют: коэффициент осцилляции , относительное линейное отклонение , коэффициент вариации и др.

Размах вариации - это разность между максимальным и мини­мальным значением признака:

. (1)

Он показывает пределы, в которых изменяется величина при­знака в изучаемой совокупности (например, каково различие в уровне профессиональных навыков у кандидатов, привлекаемых фирмой для решения конкретной производственной задачи). Так, у пяти претендентов при опыте предшествующей работы (лет): 2;3;4;7;9, размах вариации составляет 7 лет (R = 9 - 2).

Для обобщенной характеристики различий в значениях признака вычисляют средние показатели вариации, основанные на учете отклонений от средней арифметической. За отклонение от средней принимается разность .

При этом, во избежание превращения в нуль суммы отклонений вариантов признака от средней (нулевое свойство средней) приходится либо не учитывать знаки отклонений, т. е. брать эту сумму по модулю , либо возводить значения отклонений в квадрат .

Среднее линейное отклонение - это средняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней. Для не сгруппированных данных

. (2)

В нашем примере лет;

года.

Для сгруппированных данных

. (3)

Среднее линейное отклонение в силу его условности применя­ется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристи­ки выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе качества продукции с учетом технических особенностей производства).

Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое отклонение, которое называют стандартом (или стандартным отклонением). Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической.

Для не сгруппированных данных

. (4)

В нашем примере:

года.

Для сгруппированных данных:

. (5)

Между средним квадратическим и средним линейным отклонениями в условиях нормального распределения имеет место следующее соотношение: .

Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.

Дисперсия - это средний квадрат отклонений вариантов признака от средней арифметической.

Для не сгруппированных данных:

. (6)

В нашем примере .

Для сгруппированных данных:

. (7)

Более удобно вычислять дисперсию по формуле:

, (8)

где

.

Для не сгруппированных данных:

.

Для сгруппированных данных

.

Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количе­ственно вариация альтернативного признака выражается двумя зна­чениями: наличие изучаемого свойства у единицы совокупности обозначается еди­ницей (1), а его отсутствие - нулем (0). Долю единиц, обладающих изучаемым признаком, обозначают буквой p, а долю единиц, не обла­дающих этим признаком, - через q. Учитывая, что p + q = 1 (отсюда q = 1 - р), среднее значение альтернативного признака равно p:

,

а средний квадрат отклонений (дисперсия) равен:

.

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным свойством (р), на долю единиц, данным свойством не обладающих (q).

Максимальное значение средний квадрат отклонения (дисперсия) принимает в случае равенства долей, т. е. когда p = q = 0,5, т. е. . Нижняя граница этого показателя равна нулю, что соответствует ситуации, при которой в совокупности отсутствует вариация. Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака равно:

.

Так, если в изготовленной партии 3% изделий оказались нестандартными, то дисперсия доли нестандартных изделий равна , а среднее квадратическое отклонение равно или 17,1%.

Сравнение вариации нескольких совокупностей по одному тому же признаку, а тем более по различным признакам с помощью абсолютных показателей не представляется возможным. В этих случаях для сравнительной оценки степени различия строят относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношения абсолютных показателей вариации к средней величине:

- коэффициент осцилляции (или относительный размах вариации):

; (10)

- относительное линейное отклонение:

; (11)

- коэффициент вариации (или относительное отклонение):

. (12)

Рассчитываются и другие относительные характеристики. Например, для оценки вариации в случае асимметрического распределения вычисляют отношение среднего линейного отклонения к медиане:

, (13)

так как благодаря свойству медианы сумма абсолютных отклонений признака от ее величины всегда меньше, чем от любой другой.

В качестве относительной меры рассеивания, оценивающей вариацию центральной части совокупности, вычисляют относительное квартильное отклонение:

, (14)

где Q - средний квартиль, равный полуразности третьего (или верхнего) квартиля и первого (или нижнего) квартиля :

. (15)

На практике чаще всего вычисляют коэффициент вариации. Нижней границей этого показателя является нуль, верхнего предела он не имеет, однако известно, что с увеличением вариации признака увеличивается и его значение. Коэффициент вариации является в известном смысле критерием однородности совокупности (в случае нормального распределения).

Рассчитаем коэффициент вариации на основе среднего квадратического отклонения для следующего примера. Расход сырья на единицу продукции составил (кг): по одной технологии =10 при = 4, а по другой - = 6 при = 3. Непосредственное сравнение величины средних квадратических отклонений могло бы привести к неверному представлению о том, что вариация расхода сырья по пер­вой технологии интенсивнее, чем по второй . Относительная мера вариации (V) позволяет сделать противоположный вывод:

или 40%; или 50%.

Пример расчета показателей вариации. На этапе отбора кан­дидатов для участия в осуществлении сложного проекта фирма объя­вила конкурс профессионалов. Распределение претендентов по опыту работы показало следующие результаты (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Дата добавления: 2014-11-29