Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вектор-потенциал и скалярный потенциал




Для облегчения решений уравнений Максвелла вводятся вспомогательные функции: вектор-потенциал и скалярный потенциал. Одним из уравнений Максвелла, которое всегда выполняется, является

.

Это уравнение будет тождественно удовлетворяться, если положить

так как

где – новый пока произвольный непрерывный и имеющий производные вектор.

Вектор называется вектор-потенциалом и широко применяется в общих исследованиях электромагнитного поля.

Ограничимся рассмотрением сред, когда являются постоянными, т. е. среда – изотропная, однородная. В этом случае

т. е.

Следовательно, для изотропной однородной среды не только

но и

(1.60)
Поэтому вместо вектора-потенциала вводится вектор :

Так как то т. е. мы получаем электрический вектор-потенциал.

Заметим, что как , так и вектор определяются неоднозначно.

Действительно, если имеем поле вектора , то оно может быть представлено в виде

где так как

где – скалярная произвольная непрерывная функция, имеющая производные.

Из курса математики известно, что результатом градиента является вектор, который определяется следующим образом:

а модуль этого вектора определяется:

Следовательно, если мы нашли вектор , удовлетворяющий уравнению (1.59), то всякий другой вектор тоже удовлетворяет уравнению (1.59).

Однако эта неоднозначность в определении вектора делает его удобным для вычислений, так как мы можем наложить ряд условий на вектор-потенциал, чтобы упростить вычисления.

Чему должен удовлетворять вектор-потенциал

Из первого уравнения Максвелла

используя уравнение (1.59), получим:

т. е.

Полученное уравнение будет выполняться при условии, если

,

так как

где – произвольная скалярная функция, которая называется электрическим скалярным потенциалом.

Знак минус выбран потому, что данное уравнение должно выполняться и для постоянного поля, когда . В этом случае получаем

т. е. известное из курса физики положение, что напряжённость электрического поля есть минус градиент потенциала.

Следовательно,

(1.61)
.

Определим условия, которым должны удовлетворять и . Для этого используем второе уравнение Максвелла

Если в этом уравнении заменить и по формулам (1.60) и (1.61), то получим:

(1.62)
.

Напомним, что

– оператор Лапласа или лапласиан. Это скалярный дифференциальный оператор второго порядка;

– оператор Гальмитона или набла. Это векторный дифференциальный оператор первого порядка:

(1.63)

Теперь используем третье уравнение Максвелла

или

Применяя формулу (1.61), получим:

Но

Следовательно,

Теперь имеем скалярные уравнения (1.62) и (1.63). Правая часть этих уравнений проста. Однако уравнение (1.62) очень громоздко. Но если использовать неоднозначность определения , уравнение упрощается, а именно: налагается дополнительное условие в виде . Это равенство называется уравнением связи. Отсюда

(1.64)

Подставив (1.64) в уравнение (1.63), получим

(1.65)
.

Соберём полученные результаты:

(1.66)

(1.67)
.

При условии

(1.68)
.

При этом векторы и определяются по формулам

(1.69)

Уравнение (1.68) называется уравнением связи или калибровочным уравнением. Из данных выражений следует, что решение задачи об электромагнитном поле сводится к решению типового уравнения (1.66) или (1.67) при условии выполнения (1.68). Векторы и определяются по формулам (1.69).

Уравнения (1.66) и (1.67) относятся к известным уравнениям математики – типовым волновым неоднородным уравнениям. Решения этих уравнений разработаны. Совокупное решение (1.66 – 1.69) будет единственно возможным, если оно будет удовлетворять начальным и граничным условиям поставленной физической задачи.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-28; Просмотров: 728; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.