Установившийся режим в длинных линиях с потерями

Рассмотрим наиболее важный и часто встречающийся на практике случай установившегося режима в длинной линии с потерями, когда источником возбуждения является генератор гармонических колебаний. Поскольку ЭДС возбуждающего генератора изменяется во времени по гармоническому закону, то анализ процессов в длинной линии удобно проводить, используя метод комплексных амплитуд. Этот метод, как известно, позволяет напряжение и ток представить в виде:

(7.13)

где – комплексная амплитуда напряжения;

– комплексная амплитуда тока;

– начальные фазы напряжения и тока;

, – комплексно-сопряжённые амплитуды напряжения и тока.

Выражения для текущих комплексных значений напряжения и тока можно записать в виде:

Подставляя эти выражения в уравнения (7.3), которые будут справедливы и для значений , и , получим:

(7.14)

Сократив на общий множитель получим:

(7.15)

где – полное сопротивление единицы длины линии;

– полная проводимость единицы длины линии;

и – первичные параметры длинной линии.

Заметим, что в системе уравнений (7.15) имеют место полные производные, а не частные, так как в дифференциальных уравнениях в комплексных амплитудах зависимость от времени отсутствует.

Теперь нужно решить систему (7.15). Для этого продифференцируем уравнения по :

Подставив в эти выражения значения и из (7.15), находим:

(7.16)

.

(7.17)

Решения уравнений (7.16) известны. Решение 1-го уравнения имеет вид:

,

где и – постоянные интегрирования, в общем случае комплексные величины:

; ;

, – начальные фазы;

– постоянная распространения, комплексное число.

Из уравнений (7.16) также следует, что

(7.18)

где – коэффициент затухания;

– фазовый коэффициент.

Выражения для тока получим из 1-го уравнения (7.15)

Подставив в эту зависимость значение из (7.17), находим:

(7.19)

где

– характеристическое сопротивление длинной линии с потерями;

и – вторичные параметры длинной линии.

Таким образом, получены общие решения для напряжения и тока в комплексной форме.

Рассмотрим физический смысл полученных решений. Для этого, используя выражения (7.13), запишем мгновенные значения напряжения и тока в линии:

.

Подставив значения и из (7.17) и (7.19), получим:

(7.20)

(7.21)

Первые члены в выражениях (7.20) и (7.21) представляют прямые или падающие волны напряжения и тока, причём по мере распространения амплитуда волны затухает по экспоненциальному закону, определяемому множителем .

Рассмотрим, например, падающую волну напряжения. Эта волна распространяется с фазовой скоростью . Если начальная фаза , то

Отсюда видно, что имеет размерность скорости

где – фазовый коэффициент или волновое число;

– фазовая скорость;

– время запаздывания, т. е. время, необходимое для прохождения волны до текущей точки с координатой

– пространственно-временная фаза.

Второй член даёт волну, распространяющуюся к генератору от конца линии, и она называется отражённой или обратной волной. Эта волна также затухает по экспоненциальному закону, определяемому множителем .

Таким образом, в линии существует суперпозиция волн падающих и отраженных:

(7.22)

Причем существует связь

(7.23)

Уменьшение амплитуд напряжения и тока в линии происходит за счёт потерь энергии на нагревание проводов и потерь в диэлектрике . Скорость убывания этих амплитуд определяется коэффициентом называемым коэффициентом затухания.

Из выражений для , и следует, что эти величины в общем случае зависят от частоты. Это нежелательно, так как при передаче сигналов по линии может произойти искажение их спектра, а в конечном итоге и самого сигнала. Поэтому к длинной линии предъявляются требования вносить в передаваемый сигнал минимум искажений. Это требование вместе с требованием малых потерь является основным.

Например, для идеальной длинной линии, у которой ; , имеем из (7.18):

Отсюда видно, что , a , , т. е. для идеальной линии фазовая скорость не зависит от частоты.

Из (7.19) следует, что

т. е. характеристическое сопротивление равно волновому и тоже не зависит от частоты.

Таким образом, в идеальной длинной линии искажений сигнала не будет.

Рассмотрим, при каких условиях реальные длинные линии яв­ляются неискажающими. Неискажающие длинные линии – это реальные длинные линии, для которых выполняются определённые условия. Определим , и такой линии:

Если выполняется условие

(7.24)  

то , т. е. в этом случае характеристическое сопротивление также не зависит от частоты и равно волновому сопротивлению линии. Условие (7.24) называется условием неискажающей длинной линии:

Сравнивая полученный результат для с выражением (7.18), замечаем, что

,

а фазовая скорость

Отсюда видно, что при выполнении условия (7.24) коэффициент затухания фазовая скорость и характеристическое сопротивление не зависят от частоты.

Таким образом, в данном случае линия ослабляет сигнал, так как , но не искажает его.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике вид длинной линии – коаксиальный (радиотехнический) кабель. Он применяется при передаче сигналов, когда необходимо иметь малые искажения. В этом случае должны выполняться условия

На практике данные условия выполняются достаточно хорошо для требуемого диапазона частот.

Определим при этих условиях , и . Из (7.19) имеем:

Аналогично найдём

Сравнивая полученный результат с (7.18), замечаем, что , а фазовая скорость

т. е. , и не зависят от частоты.

Таким образом, в данном случае искажений практически не будет, но сигнал получаем ослабленный, так как

Дата добавления: 2014-11-28