Произведение трёх векторов

1. Произведение вектора на скалярное произведение двух других векторов

т. е. это есть вектор, параллельный , но в раз больше, чем А. Отсюда ясно, что, например, ( есть вектор, совершенно отличный от предыдущего.

2. Скалярное произведение вектора на векторное произведение двух других векторов

Из рис. 5 видно, что любое из этих произведений даёт объём параллелепипеда, образованного на векторах , и .

Знак этого произведения положителен, если в порядке А, В, С векторы образуют правую систему.

Действительно, например,

где n – вектор внутренней нормали к крышке параллелепипеда, а – площадь крышки (а стало быть и основания).

В

А С

Рис. 5

Следовательно,

где h= – высота параллелепипеда.

3. Векторное произведение вектора на векторное произведение двух других векторов

т. е. это произведение сводится к двум другим произведениям первого рода (п. 1). Положим

Вектор нормален к плоскости, определяемой этими векторами, а вектор перпендикулярен к и к . Следовательно, вектор лежит в плоскости, определяемой векторами , т. е. векторы , и лежат в одной плоскости. Кроме того, вектор перпендикулярен к проекции вектора на плоскость векторов , и .

Имеем

D_x=A_{y z} – A_{z y}=A_y(B_xC_y – B_yC_x) – A_z(B_zC_x – B_xC_z)=B_x(A_yC_y + A_zC_z)– –C_x(A_yB_y + A_zB_z) + B_xA_xC_x–C_xA_xB_x=B_x(A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z) – C_x(A_xB_x + A_yB_y + +A_zB_z)=B_x – C_x .

Аналогичным путём получим

D_y= B_y – C_y

D_z= B_z – C_z

что и доказывает основное предположение.

Нетрудно убедиться, что

Дата добавления: 2014-11-28