Дифференцирование и интегрирование вектора по времени

Производная вектора по скалярной переменной t определяется как предел отношения

Так как при делении вектора на скаляр векторные свойства не нарушаются, то производная по скалярной переменной сама является вектором.

Поскольку получение производной по скалярной переменной сводится к вычислению векторов , и к последующему переходу к пределу с делением на скаляр, при этом соблюдаются все правила векторной алгебры.

Поэтому, например,

φ – (скалярная функция);

В последнем случае следует строго соблюдать порядок записи множителей, так как при перестановке их векторное произведение меняет знак.

Из первого и второго равенств вытекает, что если

=А_х + A_y + A_z ,

то

так как , и – постоянные (единичные) векторы.

После этого становятся очевидными все приводимые далее определения, поскольку их применимость к скалярным составляющим векторов не вызывает сомнений.

По отношению к векторам применимо правило дифференцирования сложных функций. Так, если есть функция скалярной переменной u, которая в свою очередь является функцией скалярного аргумента t, то

Формула Тейлора также остается верной для векторов

Если

то называется неопределенным интегралом от и обозначается

где – произвольный постоянный вектор.

Определённый интеграл

т. е. равен разности значений вектора для границ интегрирования.

Дата добавления: 2014-11-28