Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных. Определитель матрицы А D(A) обозначим ∆ и назовем определителем системы, т.е.

∆=D(А).

Пусть ∆ ≠ 0.

Составим матрицу – столбец В из свободных членов. Если в определителе системы поочередно заменить столбцы из коэффициентов при неизвестных на столбец свободных членов, то получим определители для неизвестных и обозначим их:

∆x; ∆y; ∆z.

Тогда формулы Крамера для решения системы линейных уравнений запишутся так:

; ;

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю, т.е. ∆=0.

Здесь возможны два варианта:

1. ∆=0 и каждый определитель ∆x=0; ∆y=0; ∆z=0.

Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

2. ∆=0 и хотя бы один из определителей ∆x≠0.

При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Решим заданную систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Вычислим определитель системы ∆ и определители ∆x; ∆y; ∆z:

Найдем значения x, y, z по формулам Крамера:

; ;

Итак, получаем ответ: x=1; y=2; z=3

Дата добавления: 2014-11-29