Решение. Пример решения задачи С1

Пример решения задачи С1

Задание. Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2, …6, соединенных друг с другом (в узлах K и М) и с неподвижными опорами A, B, C, D шарнирами (рис. 3.7). В узлах K и М приложены силы P и Q, образующие с координатными осями углы α₁, β₁, γ₁ и α₂, β₂, γ₂ соответственно.

Рисунок 3.7

Дано: P=100Н, α1=60º, β1=60º, γ1=45º, Q=50Н, α2=45°, β2=60º, γ2=60º, ψ=30º, φ=60º, δ=74º. Определить усилия в стержнях 1-6.

Разложим силы P и Q на составляющие (проекции сил на оси). Так как сила P составляет с координатными осями углы (рис.3.8), то:

Рисунок 3.8

Аналогично для силы Q:

Концы стержней соединены между собой и опорами с помощью шарниров. Силы так же приложены только в узлах (шарнирах). При такой конструкции внутренние усилия, возникающие в стержнях, направлены только вдоль стержней, а они (стержни) подвержены растяжению или сжатию.

Рассмотрим равновесие узла K, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сил P и реакции N₁, N₂, N₃ стержней, которые направим по стержням от узла, предварительно считая стержни растянутыми (рис.3.9).

Рисунок 3.9

Рисунок 3.10

Из рисунка 3.9 видно, что сила N₁ проецируется только на ось y’, сила N₂ на ось x’ и ось y’, а N₃ на оси x’ и z’. Так как x’, y’, z’ параллельны соответствующим осям x, y, z, то и проекции сил на оси будут равны.

Полученная система сил P, N₁, N₂, N₃ является сходящейся системой сил, поэтому воспользуемся выражениями (3.6) и составим уравнения равновесия.

(1)

(2)

(3)

Вначале определим значение N₃ из (3):

Подставив значение N₃ в уравнение (1) найдем N₂:

И, наконец, определим N₁:

Рассмотрим равновесие узла М (рис.3.10). На узел действует сила Q и реакции N₂’, N₄, N₅, N₆. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция N₂’ направлена противоположно N₂, числено же N₂’=N₂.

Из рисунка 3.10 видно, что сила N₄ проецируется только на ось x”, сила N₆ только на ось z”, а сила N₅ на все оси. Причем, чтобы найти проекцию N₅ на ось x” или ось y” вначале необходимо спроецировать силу на плоскость x”y” (или параллельно ей) – получим N₅sin(δ), и лишь затем проецировать N₅sin(δ) на соответствующие оси.

Система сил Q, N₂’, N₄, N₅, N₆ также является системой сходящихся сил. Составляем уравнения равновесия.

(4)

(5)

(6)

Находим последовательно значения N₅, N₆, N₄.

Из (5)

Из (6)

Из (4)

Ответ: N₁=348,7H; N₂=–344,9H; N₃=141,4H; N₄=50,3; N₅=328,8H; N₆=–65,6H. Знак “–” показывает, что силы направлены в обратную сторону от принятого перед решением задачи. Соответственно стержни 2 и 6 сжаты.

Дата добавления: 2014-11-29