Лившиц Б. С. и др. 3 страница

Функция F(z) распределения вероятностей промежутков времени между вызовами. Согласно определению функция F(z) равна вероятности того, что промежуток времени между вызовами Z будет меньше заданного промежутка z, что равносильно вероятности p₁ (z) того, что за промежуток z поступит один и более вызовов. Используя (2.17), получим

а плотность распределения вероятностей промежутков времени между вызовами

Таким образом, распределение промежутков времени между вызовами простейшего потока подчиняется показательному (отрицательному экспоненциальному) закону. Функция F(z) зависит от параметра потока l.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение промежутка времени между вызовами z составляют:

Из (2.24) и (2.26) следует равенство M(Z)= s (Z). Такое равенство характерно при показательном законе распределения любой случайной величины. Формула (2.24) показывает, что с увеличением параметра потока lуменьшается математическое ожидание промежутка времени между вызовами M(Z). Указанное иллюстрируется рис. 2.4, на котором приведены зависимости F(z) от z при l=1, 5 и 10. Из этих кривых видно, что с возрастанием lувеличивается вероятность того, что промежуток между вызовами меньше заданного отрезка времени z.

Распределение промежутков времени между вызовами по показательному закону (2.22) является не только необходимым, но и достаточным условием простейшего потока. Можно показать (доказательство не приводится), что поток с независимыми промежутками между вызовами, распределенными по одинаковому показательному закону (2.22), является простейшим потоком.

Показательный закон обладает следующим свойством: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка. Для доказательства предположим, что промежуток времени между вызовами равен t. Найдем условную вероятность того, что он будет продолжаться еще не менее времени t. На основании теоремы умножения вероятностей можно записать P(Z>t+ t )=P(Z>t)P(Z> t /Z>t). С учетом (2.22) e^{–l(t +t)}=e^{–l t} P(Z> t /Z>t), откуда условная вероятность P (Z >t/Z> t)=e^–lt= P (Z >t), т. е. она не зависит от уже длившейся части времени обслуживания иравна безусловной вероятности P (Z >t), что и требовалось доказать.

Показательный закон – единственный, обладающий таким свойством. Это свойство показательного закона представляет собой, в сущности, другую формулировку основного свойства простейшего потока вызовов – отсутствия последействия. Такое замечательное свойство показательного распределения позволяет упростить математические преобразования, в частности, при анализе процессов поступления потоков вызовов и их обслуживания.

2.5. Нестационарный и неординарный пуассоновские потоки

Нестационарный пуассоновский поток (который также называется потоком с переменным параметром или нестационарным простейшим потоком) есть ординарный поток без последействия, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр l(t), зависящий от момента t. По аналогии с простейшим потоком в качестве математической модели нестационарного пуассоновского потока выбирается вероятность p _k(t ₀, t) поступления точно k вызовов за заданный промежуток времени [ t ₀, t). В силу нестационарности потока эта вероятность зависит не только от длины промежутка времени [ t ₀, t), но и от начального момента t ₀:

Для неординарного пуассоновского потока, т. е. для стационарного неординарного потока без последействия, следует различать поток вызывающих моментов и поток вызовов. Поток вызывающих моментов характеризуется вероятностью появления точно i вызывающих моментов в промежутке времени t. Эта вероятность p_i(t) определяется формулой Пуассона (2.17).

В каждый вызывающий момент поступает l( 1£ l £ r) вызовов. Величина l, называемая характеристикой неординарности потока, может быть постоянной и переменной. Если l является постоянной величиной, то с вероятностью p_i(t) суммарное число вызовов, поступающих за отрезок времени t, составляет k=li.

Для неординарного пуассоновского потока с переменной величиной l, в котором в каждый вызывающий момент с вероятностью w _l поступает l вызовов также получена формула, определяющая вероятность p_k(t) поступления точно k вызовов за промежуток времени t. Ввиду громоздкости эта формула не приводится. Параметр такого потока для каждого значения l равен lw _l. Отсюда общий параметр потока такой же, как и для потока вызывающих моментов, т. е. для простейшего потока. Интенсивность m неординарного пуассоновского потока, как и любого стационарного неординарного потока, больше его параметра l.Действительно, .

2.6. Потоки с простым последействием

Основной характеристикой потока с простым последействием является зависимость параметра потока от состояния коммутационной системы в любой момент времени t.

Коммутационная система имеет множество состояний s,которые различаются числом занятых входов, выходов и соединительных путей между входами и выходами коммутационной системы, номерами занятых входов и выходов, номерами соединительных путей между входом и выходом, числом занятых или свободных источников вызовов и т. д. Так как коммутационная система всегда имеет конечное число входов, выходов, соединительных путей, то конечным является и число возможных состояний системы обслуживания (хотя оно может быть и очень велико). Такие состояния коммутационной системы будем называть микросостояниями. Состояния коммутационной системы, различающиеся только числом занятых входов (или выходов), называются макросостояниями.

Исследования процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов следует производить с учетом микросостояний системы в тех случаях, когда структура рассматриваемой коммутационной системы такова, что вероятность ее состояния в любой произвольный момент времени t зависит как от числа занятых входов (или выходов), так и от того, какие именно входы (или выходы) заняты и по каким соединительным путям осуществляются соединения между каждым входом и выходом. Если же структура рассматриваемой коммутационной системы такова, что вероятности ее состояний в любой произвольный момент t зависят только от числа занятых входов (или выходов), то исследования процесса обслуживания коммутационной системой поступающих вызовов можно производить только с учетом макросостояний системы.

Под параметром потока в состоянии s(t) будем понимать предел

где p₁ (t, t+ t /s(t)) – вероятность поступления за промежуток [ t, t+ t)одного и более вызовов, если в момент t коммутационная система находится в состоянии s(t). Это определение позволяет сформулировать понятие потока с простым последействием. Под потоком с простым последействием понимается ординарный поток, для которого в любой момент времени t существует конечный параметр потока в состоянии s(t) (2.28), зависящий только от состояния s(t) коммутационной системы в момент t и не зависящий от процесса обслуживания вызовов до момента t.

(Параметр потока с простым последействием в любой момент времени t зависит от состояния системы в этот момент времени, а состояние системы s(t), в свою очередь, зависит от процесса, поступления и обслуживания вызовов до момента t. Такое последействие принято называть простым, поскольку для определения; параметра потока в момент t достаточно ограничиться знанием; состояния системы s(t) в этот момент. Поток с простым последействием является нестационарным, так как его параметр зависит от момента t. Заметим, что эта зависимость проявляется через состояние s (t). Для каждого конкретного состояния параметр; потока с простым последействием является постоянной величиной.

Понятие потока с простым последействием является одним из самых общих в теории потоков. Практически любой поток вызовов можно считать потоком с простым последействием, поскольку коммутационная система всегда влияет на процесс поступления вызовов. К частным случаям потока с простым последействием относятся симметричный поток, примитивный поток и поток с повторными вызовами.

2.7. Симметричный и примитивный потоки

Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого l _{s (t)} в любой момент времени t зависит только от числа i обслуживаемых в этот момент вызовов и не зависит от других характеристик, определяющих состояние s (t) коммутационной системы. При этом зависимость параметра от числа обслуживаемых вызовов может быть подчинена любому закону. Поэтому в любом состоянии s (t) с i обслуживаемыми вызовами параметр симметричного потока один и тот же, он зависит только от i, т. е. l _{s (t)}=l _i.

Примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого l _i прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников:

где п – общее число источников вызовов; i – число занятых источников; a – параметр потока источника в свободном состоянии (при этом имеет место естественное предположение – занятый источник не может производить вызовы). В модели примитивного потока параметр а источника в свободном состоянии является постоянной величиной, а параметр примитивного потока l _i убывает с увеличением числа занятых источников i. Математическое ожидание параметра примитивного потока lопределяется по формуле , где p_i – вероятность того, что в системе занято i источников. Заметим, что в обслуживающей примитивный поток коммутационной системе не требуется соединительных устройств более п, так как занятый источник не может производить вызовы.

Можно показать, что функция распределения вероятностей длительности свободного состояния источника (промежутка времени между моментом окончания одного занятия и моментом поступления от источника нового вызова)

Таким образом, промежуток времени между моментами окончания одного занятия и поступления от источника нового вызова распределен по показательному закону. Следовательно, поток вызовов от свободного источника является простейшим.

Поток с простым последействием является более общим по сравнению с простейшим потоком вызовов. Простейший поток можно представить частным случаем потока с простым последействием, в том числе симметричного и примитивного потоков. С увеличением числа источников п и уменьшением параметра a последействие потока уменьшается. В предельном случае при п ®¥и a®0 так, что п aесть конечная величина и i принимает ограниченные значения, параметр потока l= n a не зависит от состояния системы, т. е. модель примитивного потока переходит в модель простейшего потока вызовов.

2.8. Поток с повторными вызовами

Система, на которую поступает поток вызовов, обслуживает не все поступающие вызовы. Часть из них не обслуживается (теряется) по ряду причин. Так, например, на телефонных сетях часть вызовов не обслуживается по причине занятости или неответа вызываемого абонента, ошибок вызывающего абонента в процессе набора номера, занятости всех соединительных устройств, способных обслужить поступивший вызов, неустановления соединения коммутационной системой по техническим причинам. Все или часть источников необслуженных вызовов осуществляют повторные вызовы.

Поток с повторными вызовами состоит из первичных и повторных вызовов. Поскольку параметр потока повторных вызовов зависит от состояния коммутационной системы, то и поток с повторными вызовами относится к классу потоков с простым последействием.

Параметр потока повторных вызовов можно определить как произведение числа источников повторных вызовов j на параметр одного источника b. В качестве модели потока первичных вызовов принимается простейший с параметром lили примитивный с параметром l _i поток. Параметр суммарного потока равен сумме параметров потоков первичных и повторных вызовов. Для простейшего и примитивного потоков он соответственно составляет

2.9. Поток с ограниченным последействием. Поток Пальма

Под потоком с ограниченным последействием понимается поток вызовов, у которого последовательность промежутков времени между вызовами z ₁, z ₂,... представляет последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих любые функции распределения. Такой поток вызовов описывается последовательностью функций распределения промежутков между вызовами:

Как следует из приведенного определения потока с ограниченным последействием, свойство ограниченности последействия заключается в независимости промежутков между вызовами. Введенное ранее понятие «отсутствие последействия» потока заключается в независимости количества вызовов, поступающих в непересекающиеся отрезки времени. Таким образом, свойства «ограниченность последействия» и «отсутствие последействия» являются различными характеристиками потока.

Частным случаем потока с ограниченным последействием является рекуррентный поток, который характеризуется одинаково распределенными промежутками времени между вызовами:

Некоторым обобщением рекуррентного потока является рекуррентный поток с запаздыванием – поток с ограниченным последействием, для которого

Стационарный ординарный рекуррентный поток с запаздыванием называется потоком Пальма. Для потока Пальма, как и для любого другого стационарного ординарного потока, m=l=1 /M(Z). Распределение промежутков времени между вызовами для потока Пальма задается следующими соотношениями:

где w₀ (z) – вероятность отсутствия вызовов на промежутке времени длиной z.

Весьма важной является следующая теорема Пальма (доказательство этой теоремы не приводится): если на коммутационную систему с потерями и с показательным распределением длительности обслуживания поступают вызовы, образующие поток Пальма, то поток необслуженных вызовов является также потоком Пальма. В частности, если поток поступающих вызовов будет простейшим, то поток потерянных вызовов будет потоком

Пальма. Это справедливо и для потоков, теряемых каждой линией полнодоступного пучка, работающего в режиме упорядоченного искания: если на первую линию пучка поступает поток Пальма или простейший поток вызовов, то поток потерянных вызовов любым количеством первых линий пучка будет потоком Пальма.

Простейший поток является частным случаем потока Пальма, у которого все промежутки времени между вызовами, включая первый, распределены по показательному закону. При вероятности соотношения (2.35) преобразуются к соотношению. (2.22).

Рекуррентный поток без запаздывания является ординарным потоком. Рекуррентные потоки с запаздыванием могут быть и неординарными. Доказано, что стационарный рекуррентный поток, является простейшим.

2.10. Просеивание потоков. Потоки Эрланга

Пусть имеется поток вызовов, для которого t ₁, t ₂ ,... есть моменты поступления вызовов. Выберем из этого потока часть вызовов, применив следующую операцию: вызов, поступающий в момент t_k (k =1, 2,...), с вероятностью r остается в новом потоке и с вероятностью (1–r) теряется. Новый поток вызовов называется просеянным. Таким образом, просеянный поток образуется из заданного потока, в котором случайное число вызовов теряется, следующий вызов остается (просеивается), затем снова случайное число вызовов, имеющее тот же закон распределения, теряется, следующий вызов заданного потока остается и т. д. Операция, с помощью которой получен просеянный поток, называется рекуррентной операцией просеивания. Поток, получаемый из рекуррентного потока с помощью рекуррентной операции просеивания, также является рекуррентным.

Если основной поток – простейший с параметром l и каждый вызов этого потока просеивается с вероятностью р и теряется с вероятностью (1–r), то просеянный поток будет также простейшим с параметром lr. Из этого следует весьма важный для практики вывод: если поступающий на коммутационную систему простейший поток с параметром l разделяется на h направлений и вероятность того, что вызов входящего потока поступает на i-е направление (i =1,2,..., h), равна r _i, то поток i-го направления является также простейшим с параметром lr _i.

Используем отличную от рекуррентной операцию просеивания, при которой точно m вызовов потока теряются, (m+1)-й вызов просеивается, затем снова точно m вызовов теряются и (m +1)-й просеивается и т. д. В результате такой операции просеивания простейшего потока образуется так называемый поток Эрланга m-го порядка. Если в простейшем потоке сохранить (просеять) каждый третий вызов, то образуется поток Эрланга 2-го порядка, каждый второй вызов – поток Эрланга 1-го порядка. Естественно, простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга нулевого порядка.

В потоках Эрланга любого порядка промежутки времени между вызовами независимы и распределены по одному и тому же закону, так как эти промежутки представляют собой сумму одинакового числа промежутков простейшего потока. В связи с этим потоки Эрланга являются рекуррентными.

Математическое ожидание M(Z_m), дисперсия D(Z_m) и среднеквадратическое отклонение s (Z_m) промежутка времени между вызовами в потоке Эрланга m -го порядка равны соответственно

Из (2.36) и (2.37) следует, что с увеличением порядка потока Эрланга увеличиваются математическое ожидание и дисперсия промежутка времени между вызовами и одновременно уменьшается параметр потока. Потоки Эрланга m -го порядка при разных т создают потоки с различной степенью случайности: от простейшего (m =0) до детерминированного (т= ¥ ).

2.11. Длительность обслуживания

В теории телетрафика длительность обслуживания поступивших вызовов обычно принимается либо постоянной, либо случайной величиной. Постоянная длительность принимается, например, в моделях обслуживания вызовов управляющими устройствами систем распределения информации. Случайная длительность обслуживания задается функцией распределения вероятностей F(t)=P(T<t), t ³0.

Наиболее простой и распространенной функцией распределения вероятности случайной длительности обслуживания является показательная:

где b = 1 /M(T) – параметр длительности обслуживания; М(Т) – математическое ожидание длительности обслуживания.

Дифференцируя (2.38) по t, найдем плотность распределения вероятностей

Закон распределения вероятностей с такой плотностью называется показательным законом (отрицательным экспоненциальным). Основные числовые характеристики случайной длительности обслуживания, распределенной по показательному закону, по аналогии с (2.24)-(2.26): M(T)= 1/b; D(T)=l/b²; s(T)=1/b. С целью упрощения математических выражений часто за единицу измерения длительности обслуживания принимается математическое ожидание длительности обслуживания, т. е. М(Т)= 1и, следовательно, b=1.

Во многих случаях показательный закон хорошо описывает реальные законы распределения длительности обслуживания. Так, наблюдениями установлено, что длительность разговора на телефонных сетях достаточно хорошо описывается показательным распределением.

2.12. Поток освобождений

Потоком освобождений называется последовательность моментов окончания обслуживания вызовов. В общем случае свойства и характеристики потока освобождений зависят от поступающего потока вызовов, качества обслуживания этих вызовов, закона распределения длительности обслуживания. При обслуживании поступающего потока вызовов без потерь при постоянной длительности обслуживания h свойства потока освобождений совпадают со свойствами поступающего потока вызовов. Происходит только сдвиг по времени на величину h между моментом поступления вызова и моментом окончания его обслуживания.

При показательном законе распределения длительности обслуживания в силу свойства этого распределения моменты окончания обслуживания не зависят от моментов поступления вызовов. Покажем, что в момент времени t параметр потока освобождений n(t) зависит только от параметра показательного закона распределения длительности обслуживания и числа вызовов, которые находятся «а обслуживании в данный момент временя. Пусть в коммутационной системе в момент t занято k приборов (k вызовов находятся на обслуживании). Вероятность освобождения i устройств за промежуток времени t можно рассматривать как i успешных испытаний при общем числе k независимых испытаний и по теореме о повторении опытов записать

где р – вероятность освобождения одного прибора за промежуток времени t.

При показательном законе распределения длительности обслуживания

Подставляя (2.41) в (2.40), получим

Вероятность того, что за промежуток времени t не освободится ни один из k занятых приборов, а вероятность того, что освободится хотя бы один прибор, равна

По определению параметра потока

Вероятность p₁(t) запишем с учетом разложения функции в ряд:

Подставляя (2.45) в (2.44), получим что и требовалось доказать. Можно показать, что в рассматриваемом случае поток освобождений обладает свойством ординарности.

Задача.

Определить: 1. Вероятность p_k(t) поступления точно k= 6 вызовов и вероятность р_{i £ k} (t) поступления не более k =6 вызовов простейшего потока с интенсивностью m=250 вызовов в час за промежуток времени t= 72 с. 2. При каком значении k имеет место наибольшее значение вероятности p_k (t)?

Решение. 1. Для простейшего потока l=m=250; l t= (250´72)/3600=5. При наличии только таблицы для определения вероятностей р_{i ³ k} (t) отыскиваем в таблице значения этих вероятностей для k =6 и k =7: p_{i ³6}=0,3840, р_{i ³7}=0,2378. Отсюда вероятность р ₆ (t)=р_{i ³ 6} (t)– p_{i ³7} (t) =0,1462. Вероятность p_{i £6}(t)= 1– p_{i £7} (t) =0,7622.

2. Для определения наибольшего значения вероятности р_k (t) получим рекуррентное соотношение формулы Пуассона (2.17): p_k(t)/p_{k- 1} (t)= l t/k. В области l t>k с возрастанием k вероятности p_k(t) увеличиваются, так как p_k (t)= p_{k -1}(t) (l t/k), а последний множитель больше единицы. И, наоборот, в области l t<k с возрастанием k вероятности p_k(t) уменьшаются. Отсюда согласно рекуррентному соотношению рассматриваемая вероятность имеет наибольшие значения: p_{k- 1}(t)= p_k (t) при k =l t, если l t – целое число; p_k(t) при k= [l t ], где [l t ] – наибольшее целое число, меньшее l t, если l t – нецелое число.

В нашей задаче l t= 5, поэтому наибольшее значение вероятности p_k(t) имеют при k =4 и k = 5. В этом легко убедиться, определив значения вероятностей с помощью таблиц [29]: p ₄ (t)=p ₅ (t) =0,1755; p ₃ (t) =0,1403; p ₆ (t) =0,1462 (значения вероятностей p ₃ (t) и р ₆(t) меньше p ₄ (t)=p ₅(t).

Контрольные вопросы

1. Дайте определения понятиям следующих потоков вызовов: детерминированному и случайному, однородному и неоднородному, финитному, регулярному и сингулярному.

2. Приведите основные способы определения потоков вызовов.

3. Каковы основные характеристики потоков вызовов? Дайте определения понятиям: интенсивность и параметр потока.

4. Каковы принципы классификации потоков вызовов? Дайте определения понятиям: стационарность потока, ординарность потока, поток без последействия, поток с последействием.

5. Дайте определение понятию простейшего потока вызовов. Покажите математическую модель такого потока.

6. Каковы основные характеристики простейшего потока? Покажите характер зависимости вероятности p_k(t) от k при различных значениях параметра потока l.

7. Какому закону следует функция распределения промежутков между вызовами простейшего потока? Покажите характер зависимости этой функции от параметра потока и заданных длин промежутков. В чем заключается основное свойство показательного закона распределения промежутков между вызовами?

8. Дайте определение понятию «нестационарный пуассоновский поток».

9. Дайте определение понятию «неординарный пуассоновский поток».

10. Дайте определение понятию «поток с простым последействием». Каковы особенности симметричного и примитивного потоков?

11. Каковы особенности потока с повторными вызовами?

12. Дайте определение понятию «поток с ограниченным последействием». Какие частные случаи такого потока рассматриваются, каковы их основные особенности?

13. В чем заключаются основные свойства потока Пальма?

14. Дайте определение понятию «поток Эрланга m -го порядка». В чем различие операции просеивания простейшего потока, в результате которой образуется поток Эрланга m -го порядка, и рекуррентной операции просеивания?

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Нагрузка. Характеристики качества обслуживания

3.1. Поступающая, обслуженная, потерянная нагрузки

При обслуживании потока вызовов коммутационной системой каждый вызов занимает выход системы на некоторый промежуток времени. Если например, выход одновременно обслуживает только один вызов, то загрузка выхода может характеризоваться суммарным временем обслуживания всех вызовов, а коэффициент полезного действия или использование выхода можно оценивать отношением суммарного времени обслуживания всех вызовов ко времени действия выхода. В теории телетрафика суммарное время обслуживания вызовов принято называть нагрузкой.

Дата добавления: 2014-11-29