Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Потужність зчисленних множин





Потужністю зчисленної множини ν називається потужність множини натуральних чисел N. Довільна множина, рівнопотужна N, називається зчисленною. Множина зчисленна, якщо існує хоча б одна бієкція цієї множини в множину N.

Теорема 6. ν - найменше трансфінітне кардинальне число.

Це означає, що довільна нескінченна множина X містить хоча б одну зчисленну підмножину.

Теорема 7. Для довільного скінченого числа т ≥ 1 виконуються рівності тν = ν і ν т = ν. Результат випливає безпосередньо з теореми 5, згідно з якою тν = ν при тν і ν 2 = νν = ν, а це означає за індукцією ν т = ν.

Теорему 4 ми прийняли без доведення. Але рівність ν 2 = ν∙ν = ν, з якої випливає теорема 7, можна легко довести. Покажемо, що N ´ N рівнопотужна N. Дійсно зі схеми, наведеної нижче

ми бачимо, що відображення , тобто f : N ´ NN є бієкцією.

На основі викладеного можна зробити такі висновки:

1) об’єднання скінченної або зчисленої множини скінченних чи зчислених підмножин множини X є скінченною або зчисленною множиною. Дійсно, нехай J - деяка підмножна N і підмножини A j, j ÎJ деякої множини X всі непорожні. Нехай f j : NA j сюр’єкція. Тоді (j, п) → f j(n) буде сюр’єкцією J ´ N . Оскільки J ´ N зчисленна, то скінченна або зчисленна;

2) множина Z всіх цілих чисел зчисленна (як об’єднання двох зчисленних множин). Множина Q раціональних чисел зчисленна. Дійсно відображення, яке ставить кожній парі (p, q), q ≠ 0 множини Z ´ Z у відповідність раціональне число p / q, є сюр’єкцією підмножини Z ´ Z на Q. Це означає, що Q не більш, ніж зчисленна, але так як вона містить N, то Q зчисленна;

3) множина алгебраїчних дійсних чисел зчислена. Алгебраїчним дійсним числом називають дійсний корінь деякого тотожньо не рівного нулю полінома з цілими коефіцієнтами. Оскільки тотожньо не рівний нулю поліном степеня ≤ m з цілими коефіцієнтами має т + 1 коефіцієнтів, які є довільними цілими числами і не всі дорівнюють нулю, то потужність множини цих поліномів дорівнює ν т + 1 = ν. Кожен такий поліном має не більше т алгебраїчних дійсних коренів, а значить, множину коренів поліномів степені ≤ т можна розглядати як об’єднання зчисленної множини скінченних множин. Така множина не більш ніж зчисленна, а так як вона нескінченна, то вона зчисленна. Так як т приймає всі значення, то множина всіх алгебраїчних чисел отримується як об’єднання зчисленного числа зчисленних множин, а значить є зчисленною множиною;



4) множина всіх точок простору R n з раціональними чи алгебраїчними координатами зчисленна, так як її кардинальне число дорівнює ν п = ν.





Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 670; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.01 сек.