Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Потужність континууму





Теорема 8. Множина всіх дійсних чисел не є зчисленною.

Дійсно, доведемо, що навіть множина X = [0, 1] дійсних чисел, які задовольняють нерівність 0 ≤ x ≤ 1, не є зчисленною.

Доведення проведемо від протилежного. Припустимо, що X зчисленна й існує деяка бієкція N на Х, тобто елементи X можуть бути записані y вигляді деякої послідовності x1, x2, x3, …, елементи якої попарно різні. Крім того, розглянемо дійсне число ξ, яке визначимо так: перед комою поставимо 0, потім як j-й десятковий знак виберемо довільне ціле число між 1 і 8, яке відрізняється від j-го десяткового знака числа хj. Таким способом ми утворюємо нескінченний дріб, що визначає деяке число ξ. Для довільного натурального j маємо таке. Оскільки j-й десятковий знак числа ξ відрізняється від j-го десяткового знака числа хj і всі десяткові знаки числа ξ відрізняються від 0 і 9, то ξхj (не допускаємо знаків 0 і 9, бо 0,102000... і 0,101999... одне і те ж саме число). Значить число ξ не збігається ні з одним з чисел послідовності x1, x2, x3, … Ми отримали суперечність. Це й доводить теорему.

Дійсні числа які не є алгебраїчними, називають трансцендентними. Так як множина алгебраїчних чисел зчисленна, а множина дійсних – незчисленна, то існують трансцендентні числа і навіть “більшість” дійсних чисел трансцендентні. Але не просто точно вказати трансцендентні числа. Можна, наприклад, довести (але це не очевидно), що числа е і π трансцендентні.

Будемо позначати через γ потужність множини X = [0, 1] і називати її потужністю континууму. Потужність континууму - це потужність множини дійсних чисел, оскільки є бієкцією ]0, 1[ на R.

Теорема 9. Мають місце рівності тγ = νγ = γγ = γ т = γν = γ, де т – довільне натуральне число.

Доведення просте. Всі кардинальні числа менші чи рівні γν і більші чи рівні γ, тому достатньо довести, що γν = γ. Легко переконатися, що γν = (2ν)ν = 2νν = 2ν = γ.



Зі сказаного випливає:

1) множина комплексних чисел має потужність континууму;

2) довільний векторний простір скінченого числа вимірів над полем дійсних чи комплексних чисел має потужність континууму. Дійсно, зафіксувавши базу, легко визначити бієкцію такого простору на R n, який має, згідно рівності γ n = γ, потужність континууму. Звідси випливає парадоксальний наслідок про існування бієкції R на площину R 2, так як множини R і R 2 рівнопотужні;

3) множини всіх послідовностей дійсних чисел і послідовностей комплексних чисел мають потужність континууму, так як їх кардинальне число дорівнює γ ν = γ.

4) множина X неперервних дійсних функцій дійсної змінної має потужність континууму;

5) множина всіх дійсних функцій дійсної змінної або навіть множина всіх функцій, що приймають тільки значення 0 і 1, має потужність, строго більшу за потужність континууму, тому що їх потужності рівні відповідно γγ і 2γ, а γγ = (2γ)γ =2γ γ = 2γ > γ.

З пп. 4, 5 випливає, що “більшість” функцій має не менше однієї точки розриву.

На завершення сформулюємо континуум-гіпотезу. Згідно цієї гіпотези, 2ν є кардинальним числом, яке іде одразу за ν. У загальному випадку узагальнена континуум-гіпотеза полягає в припущенні, що при довільному кардинальному числі α кардинальне число 2α іде безпосередньо за α. Доведено (П. Коен, 1968 р.), що континуум-гіпотеза не має рішення – її не можливо ані довести, ані спростувати, можна тільки прийняти її або протилежне їй твердження як аксіому.

 





Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 864; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.022 сек.