Потужність континууму

Теорема 8. Множина всіх дійсних чисел не є зчисленною.

Дійсно, доведемо, що навіть множина X = [0, 1] дійсних чисел, які задовольняють нерівність 0 ≤ x ≤ 1, не є зчисленною.

Доведення проведемо від протилежного. Припустимо, що X зчисленна й існує деяка бієкція N на Х, тобто елементи X можуть бути записані y вигляді деякої послідовності x ₁, x ₂, x ₃, …, елементи якої попарно різні. Крім того, розглянемо дійсне число ξ, яке визначимо так: перед комою поставимо 0, потім як j -й десятковий знак виберемо довільне ціле число між 1 і 8, яке відрізняється від j -го десяткового знака числа х_j. Таким способом ми утворюємо нескінченний дріб, що визначає деяке число ξ. Для довільного натурального j маємо таке. Оскільки j -й десятковий знак числа ξ відрізняється від j -го десяткового знака числа х_j і всі десяткові знаки числа ξ відрізняються від 0 і 9, то ξ ≠ х_j (не допускаємо знаків 0 і 9, бо 0,102000... і 0,101999... одне і те ж саме число). Значить число ξ не збігається ні з одним з чисел послідовності x ₁, x ₂, x ₃, … Ми отримали суперечність. Це й доводить теорему.

Дійсні числа які не є алгебраїчними, називають трансцендентними. Так як множина алгебраїчних чисел зчисленна, а множина дійсних – незчисленна, то існують трансцендентні числа і навіть “більшість” дійсних чисел трансцендентні. Але не просто точно вказати трансцендентні числа. Можна, наприклад, довести (але це не очевидно), що числа е і π трансцендентні.

Будемо позначати через γ потужність множини X = [0, 1] і називати її потужністю континууму. Потужність континууму - це потужність множини дійсних чисел, оскільки є бієкцією ]0, 1[ на R.

Теорема 9. Мають місце рівності т ∙ γ = ν ∙ γ = γ ∙ γ = γ ^т = γ^ν = γ, де т – довільне натуральне число.

Доведення просте. Всі кардинальні числа менші чи рівні γ^ν і більші чи рівні γ, тому достатньо довести, що γ^ν = γ. Легко переконатися, що γ^ν = (2 ^ν) ^ν = 2 ^{ν ∙ ν} = 2 ^ν = γ.

Зі сказаного випливає:

1) множина комплексних чисел має потужність континууму;

2) довільний векторний простір скінченого числа вимірів над полем дійсних чи комплексних чисел має потужність континууму. Дійсно, зафіксувавши базу, легко визначити бієкцію такого простору на R ⁿ , який має, згідно рівності γ ⁿ = γ, потужність континууму. Звідси випливає парадоксальний наслідок про існування бієкції R на площину R ², так як множини R і R ² рівнопотужні;

3) множини всіх послідовностей дійсних чисел і послідовностей комплексних чисел мають потужність континууму, так як їх кардинальне число дорівнює γ ^ν = γ.

4) множина X неперервних дійсних функцій дійсної змінної має потужність континууму;

5) множина всіх дійсних функцій дійсної змінної або навіть множина всіх функцій, що приймають тільки значення 0 і 1, має потужність, строго більшу за потужність континууму, тому що їх потужності рівні відповідно γ^γ і 2 ^γ, а γ^γ = (2 ^γ)^γ =2 ^{γ γ} = 2 ^γ > γ.

З пп. 4, 5 випливає, що “більшість” функцій має не менше однієї точки розриву.

На завершення сформулюємо континуум-гіпотезу. Згідно цієї гіпотези, 2 ^ν є кардинальним числом, яке іде одразу за ν. У загальному випадку узагальнена континуум-гіпотеза полягає в припущенні, що при довільному кардинальному числі α кардинальне число 2 ^α іде безпосередньо за α. Доведено (П. Коен, 1968 р.), що континуум-гіпотеза не має рішення – її не можливо ані довести, ані спростувати, можна тільки прийняти її або протилежне їй твердження як аксіому.

Дата добавления: 2014-11-29