Малюнок № 7.12

Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.

4. Ми вже зазначали, що знаходити площу многокутників чи інших геометричних фігур безпосередньо (накладанням палетки) не завжди зручно і раціонально. Саме тому, в математиці виведені формули для знаходження площ окремих видів геометричних фігур. Щоб познайомитися з ними доведемо наступні теореми.

Теорема 3: площа кожного прямокутника дорівнює добутку довжин його суміжних сторін.

Доведення:

Нехай нам дано прямокутник АВСД. Виберемо систему координат так, щоб осі ОХ і ОУ проходили через суміжні сторони цього прямокутника (див. малюнок № 7.12.).

У

а

В

С

А

b

Д

Х

Провівши через точки поділу прямі, паралельні осям координат, ми отримаємо на площині ХОУ сітку квадратів нульового рангу. Нехай m_е(АВ)=а і m_е(АД)=b. Тоді на кожній стороні квадрата вміщуватиметься ціле число таких квадратів. Підрахувавши число квадратів, які покривають прямокутник АВСД, ми знайдемо площу прямокутника. Довжини сторін прямокутника АВСД можуть виражатися, по-перше, натуральними числами, по-друге, - довжина хоча б однієї із сторін прямокутника є раціональним числом, по-третє, - довжина хоча б однієї із сторін прямокутника є ірраціональним числом, тобто нескінченним неперіодичним десятковим дробом. У першому випадку число квадратів дорівнюватиме добутку чисел, які показують скільки одиничних відрізків вміщується у стороні. Отже, площа прямокутника в першому випадку дорівнює добутку довжин його суміжних сторін S=a×b.

Якщо довжина хоча б однієї сторони прямокутника виражається раціональним числом, то побудуємо на площині ХОУ координатну сітку квадратів відповідного рангу. В цьому випадку на кожній стороні прямокутника вміщуватиметься ціле число квадратів відповідного рангу. Підрахуємо число таких квадратів, а оскільки довжини сторін цього прямокутника будуть виражатися десятковими дробами, то в цьому випадку число квадратів покриття дорівнюватиме добутку довжин суміжних сторін. Для прикладу нехай а=3,25, b=7,56. Тоді S=3,25×7,56=24,57.

Нехай принаймні одна сторона прямокутника виражається ірраціональним числом, тобто нескінченним неперіодичним десятковим дробом. Тоді, якими б не були квадрати покриття певного рангу, принаймні на одній стороні прямокутника не вміщуватиметься їх ціле число. У цьому випадку число квадратів покриття доведеться підраховувати з недостачею, коли знайдемо число квадратів, які складаються тільки із внутрішніх точок прямокутника, або з надлишком – коли підрахуємо число квадратів певного рангу, які повністю покривають прямокутник АВСД. Якщо m_е(АВ)=a і m_е(АД)=b, то для знаходження площі прямокутника слід знайти добуток дійсних чисел, тобто S=a×b. Таким чином, теорему доведено повністю. Цілком зрозуміло, що ми для спрощення викладок лише описали доведення теореми в другому та третьому випадках.

Користуючись цієї теоремою виведемо формули для обчислення площі деяких геометричних фігур.

Теорема 4: площа прямокутного трикутника дорівнює півдобутку довжин його катетів (див. малюнок № 7.13.).

Доведення:

А Д

Дата добавления: 2014-12-07