Теорія ймовірностей та математичної статистики

Маємо

Тоді

;

.

.

Отримано знакопереміжний числовий ряд, який задовольняє умовам теореми Лейбниця. Оскільки четвертий член цього ряду за абсолютним значенням менше ніж 0,001, достатньо обмежитись сумою перших трьох членів. Отже

. ◄

3. Обчислити наближено з точністю до 0,0001.

► Скористаємось формулою

;

який є збіжним при .

Запишемо заданий вираз у вигляді

.

Для функції маємо наступний розклад

Підставляючи замість х число , отримає числовий ряд

Маємо знакопереміжний числовий ряд. Щоб обчислити значення функції з точністю 0,0001, необхідно, щоб перший член, що відкидається, був менш, ніж 0,0001. Неважко обчислити, що

.

Отже, .

Задача 1.

Ящик з N однаковими виробами містить n бракованих. Випадково відібрані m виробів і відправлені в магазин. Знайти ймовірність того, що серед них рівно k бракованих.

Задача 2.

Ймовірності влучення в ціль при стрілянині з двох гармат такі: Р₁ і P₂. З обох гармат зробили по одному залпу. Знайти ймовірності: а) двох улучень; б) жодного влучення; в) тільки одного влучення; г) хоча б одного влучення.

Задача 3.

Виріб перевіряється на стандартність одним із двох товарознавців. Ймовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, дорівнює Р₁; а до другого – Р₂. Ймовірність того, що виріб буде визнано стандартним першим товарознавцем, дорівнює Р₃, а другим – Р₄.

Знайти ймовірність того, що: а) виріб, що надійшов на перевірку, буде визнано стандартним; б)виріб перевірив другий товарознавець, якщо він був визнаний стандартним.

Задача 4.

Ймовірність того, що узятий навмання виріб нестандартний, дорівнює Р. Знайти ймовірність того, що серед узятих n виробів виявиться: а) k нес-тандартних, б) не більш, ніж k нестандартних.

Задача 5.

При виготовленні виробів брак складає Р%. Скласти закон розподілу числа бракованих виробів з узятих навмання n виробів. Знайти М(Х), D(Х) і побудувати графік інтегральної функції розподілу.

Задача 6.

Дано інтегральну функцію розподілу випадкової величини Х

Знайти щільність розподілу , М (Х), D (Х). Побудувати графіки F (x) і .

Задача 7.

Вага окремого яблука даної партії є випадкова величина Х, розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням а і середнім квадратичним відхиленням . Визначити ймовірність того, що вага обраного випадковим образом з даної партії яблука: а) знаходиться в межах від Х₁ до Х₂; б) відхиляється від середньої ваги а не більш, ніж на .

Завдання 8.

При проведенні контрольних іспитів n духових шаф були визначені оцінки математичного сподівання і середнього квадратичного відхилення їхнього терміну служби і виявилися рівними год. і год. Вважаючи, що термін служби кожної духової шафи є нормально розподіленою випадковою величиною, визначити надійний інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання а при довірливій ймовірності (надійності)

Завдання 9.

За даними вибіркового обстеження п’яти супермаркетів залежність затрат на маркетинг Х (тис. грн.) і обсягом реалізації Y (млн. грн.) має вигляд

Припускаючи, що між Х і Y має місце лінійний кореляційний зв’язок, визначити вибіркове рівняння лінійної регресії. Знайти також силу лінійного кореляційного зв’язку між затратами та маркетингом і обсягом реалізації.

Дата добавления: 2014-11-29