Лекция 13. Развертки многогранных и кривых поверхностей

Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, которая получена совмещением всех ее граней с одной плоскостью.

Пример. Построить развертку поверхности пирамиды SABCD (рисунок 13.1).

Рисунок 13.1

Основание АВСD пирамиды лежит в горизонтальной плоскости уровня. Поэтому его стороны на П ₂ проецируются в натуральную величину. Для определения натуральных величин боковых ребер воспользуемся способом прямоугольного треугольника. Так как разности высот концов всех боковых ребер равны, то построим прямоугольные треугольники с общим катетом . Вторые катеты этих треугольников равны длинам горизонтальных проекций этих ребер. Для удобства построение натуральных величин боковых ребер вынесено на свободное поле чертежа. Совокупность треугольников , , , с общим катетом называется диаграммой натуральных величин.

Построение развертки поверхности пирамиды ясно из приведенного чертежа, на котором конгруэнтные отрезки обозначены одинаковыми значками. К развертке боковой поверхности пирамиды пристраиваем ее основание.

Построение развертки поверхности призмы выполняется тремя способами:

1) способом треугольников (триангуляции),

2) способом нормальных сечений,

3) способом раскатки.

Способ треугольников является наиболее универсальным. Он пригоден для построения точных разверток любых многогранных поверхностей, а также для построения приближенных и условных разверток линейчатых поверхностей.

Способ нормальных сечений применяется для построения разверток призматических поверхностей, если их боковые ребра являются прямыми уровня.

Развертка поверхности призмы способом нормальных сечений выполняется в такой последовательности (рисунок 13.2):

1) призма пересекается плоскостью a, перпендикулярной ее боковым ребрам;

2) определяются натуральные величины сторон ломаной линии, по которой плоскость a пересекает поверхность призмы;

3) эта ломаная развертывается в отрезок прямой;

4) на перпендикулярах, проведенных к этой прямой в точках, соответственных вершинам ломаной, откладываются натуральные величины соответствующих отрезков ребер;

5) концы ребер последовательно соединяются отрезками прямых;

6) к построенной развертке боковой поверхности призмы пристраиваются многоугольники, равные натуральным величинам оснований призмы.

Способ раскатки – частный случай способа нормальных сечений. Он применяется для построения разверток призматических поверхностей, если их боковые ребра и плоскости оснований являются соответственно прямыми и плоскостями уровня.

Сущность способа раскатки состоит в том, что грани призмы последовательными вращениями вокруг ее боковых ребер совмещаются с какой-либо плоскостью. Получающаяся при этом фигура является разверткой боковой поверхности призмы.

Построение приближенных разверток развертывающихся поверхностей (конических, цилиндрических и торсовых) сводится к построению точных разверток многогранных поверхностей, вписанных в данные поверхности или описанных около них. Построение приближенных разверток выполняется в такой последовательности:

1) данную развертывающуюся поверхность заменяют (аппроксимируют) многогранной поверхностью;

2) строят точную развертку многогранной поверхности;

3) точную развертку аппроксимирующей многогранной поверхности принимают за приближенную развертку данной развертывающейся поверхности.

Основная литература: 1 осн.[201-207], 2 осн. [105-110]

Дополнительная литература: 1 доп.[117-123].

Контрольные вопросы:

1. Что называют разверткой поверхностей?

2. Какие поверхности называются развертывающимися и какие - неразвертывающимися?

3. Укажите основные свойства разверток?

4. Укажите последовательность графических построений разверток поверхностей конуса и цилиндра?

5. Что называют аппроксимацией поверхности?

6. Какие способы разверток многогранников вы знаете?

Дата добавления: 2014-12-07