Лихорадка у детей

Теория

На практике довольно часто приходится сталкиваться с некоторым набором экспериментальных величин, требующих аналитической обработки. Как правило, для этих данных нужно подобрать некоторую модель, которая позволяет описывать наблюдаемые явления и, с некоторой долей вероятности, строить соответствующие прогнозы.

В таких случаях математическая формулировка задачи ставится следующим образом.

Имеются две наблюдаемые величины х и у, причем у зависит от х некоторым образом. Необходимо построить математическую модель , где f(x) − некоторая функция от х наилучшим образом описывающую наблюдаемые значения у.

Обычно следует выбирать так, чтобы минимизировать сумму квадратов разностей (метод наименьших квадратов) между наблюдаемыми и теоретическими значениями зависимой переменной у и , т. е. минимизировать некоторую функцию:

где n − число наблюдений.

При решении такой задачи, главной проблемой является выбор некоторой математической функции, позволяющей достоверно описывать полученные экспериментальные данные и прогнозировать ожидаемые результаты.

В MS Excel существует возможность быстрого расчета наиболее подходящей линии, которая проходит через серию заданных точек. Это так называемая линия тренда, по которой можно проследить развитие функции с наименьшей ошибкой. Линия тренда (основное название − линия регрессии) − статистический инструмент, представляющий собой линию , построенную на основе данных диаграммы у с использованием некоторой аппроксимации.

В некоторых случаях этими результатами можно воспользоваться для анализа тенденций и краткосрочного прогнозирования.

Удобной математической моделью экспериментальных зависимостей является уравнение вида Y(X) = f (X) + e, где e − случайная переменная (остатки). Это уравнение называется уравнением регрессии; функция f (X) − функцией регрессии. Относительно случайной величины e обычно делается предположение, что она имеет нормальное распределение с нулевым средним значением.

Выбор функции f (X) методом наименьших квадратов составляет задачу регрессионного анализа. Тип функции регрессии в значительной мере зависит от экспериментальных данных, однако наиболее часто используют многочлен вида Y = a + b ₁X + b ₂X² + … + b _mX^m (коэффициенты a и b_i определяется на основе экспериментальных данных). Такая функция линейной регрессии называется полиномиальной.

Примерный порядок выполнения Задания 2

В MS Excel открыть новую книгу и на первом листе ввести данные для X и Y (рис. 1.).

Построить диаграмму данных в виде точечного графика.

Активизировать диаграмму и выполнить команду Диаграмма | Добавить линию тренда … | окно Линия тренда | вкладка Параметры (флаг − показать уравнение на диаграмме; флаг − поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)).

Изменяя значения Y проследить за изменениями коэффициента детерминации (R²) и подобрать ту линию регрессии, при которой R² будет максимальным. Обратить внимание на вид уравнения регрессии.

Задание 2 размещается на одном рабочем листе. Разработанная модель должна быть наглядной, при изменении исходных данных должен осуществляться пересчет соответствующих величин и перестройка графиков.

Пример выполнения регрессионного анализа приведен на рис.1. Несмотря на то, что обе аппроксимирующие функции: полиномиальная (полином 5-й степени) и степенная, дают хорошее приближение к заданным данным (R² = 0,9997 и R² = 0,8092). Однако, практическое использование какой-либо функции вызывает затруднение из-за сложности и ошибок вычисления значений малых коэффициентов при аргументе Х.

Решение данной задачи следует поискать среди других аппроксимирующих функций.

Рис. 1. Пример (не образец!) построения линии и уравнения регрессии (степенная и полиномиальная аппроксимация данных)

Контрольные вопросы

1. Что характеризует среднее арифметическое выборки?

2. Что характеризует дисперсия выборки?

3. Что характеризует стандартное отклонение среднего?

4. Что характеризует медиана выборки?

5. Как рассчитывается ошибка среднего выборки?

6. Поясните понятие доверительного интервала среднего выборки.

7. Объясните принцип приближения данных линией методом наименьших квадратов.

8. Величина, какого показателя характеризует меру приближения линии тренда к данным.

9. Почему для построения диаграммы данных используется тип диаграммы «точечная».

10. Как отобразить на диаграмме уравнение и коэффициент детерминации линии регрессии.

11. На что нужно обращать внимание, кроме коэффициента детерминации, при выборе уравнения тренда.

(клинические и патофизиологические аспекты)

Учебное пособие

г. Екатеринбург

2010 год

Авторы:

	Рык Павел Владимирович, к.м.н., врач педиатр ОМО МУ ССМП г. Екатеринбург
	Царькова Софья Анатольевна, д.м.н., профессор кафедры детских инфекционных болезней и клинической иммунологии ГОУ ВПО УГМА Росздрава, декан ФПК и ПП ГОУ ВПО УГМА Росздрава
	Ваисов Фарит Даутович, заведующий ОМО МУ ССМП г. Екатеринбург, ассистент кафедры скорой медицинской помощи ГОУ ВПО УГМА Росздрава, к.м.н.

МУ «СТАНЦИЯ СКОРОЙ МЕДИЦИНСКОЙ ПОМОЩИ

им. В. Ф. КАПИНОСА» г. ЕКАТЕРИНБУРГ

ГОУ ВПО «Уральская государственная медицинская

академия» Росздрава

Дата добавления: 2014-12-27