По системной функции цифрового четырехполюсника

Составление разностного уравнения

Чтобы получить разностное уравнение, необходимо разбить системную функцию на множители первого и второго порядков, которые имеют следующий вид:

.

Чтобы получить разностное уравнение по системной функции первого порядка преобразуем уравнение К 1(z):

(1+ b ₁ z^{– 1}) F ₂(z)=(a ₀+ a ₁ z^{– 1}) F ₁(z);

F ₂(z)= a ₀ F ₁(z)+ a ₁ z^{– 1} F ₁(z)– b ₁ z^{– 1} F ₂(z).

Учитывая, что z -преобразование входного сигнала имеет вид

,

а с учетом теоремы смещения

,

в итоге получим преобразованное уравнение

.

Для обратного преобразования и получения тем самым искомого разностного уравнения удалим знак суммы и сократим z^–n. Тогда получим f ₂(nT)= a ₀ f ₁(nT)+ a ₁ f ₁[(n– 1) T ]– b ₁ f ₂[(n– 1) T ].

Аналогично для множителя второго порядка К 2(z) получается разностное уравнение второго порядка

f ₂(nT)= a ₀ f ₁(nT)+ a ₁ f ₁[(n– 1) T ]+ a ₂ f ₁[(n– 2) T ]– b ₁ f ₂[(n– 1) T ]–

– b ₂ f ₂[(n– 2) T ].

В полученных разностных уравнениях значение выходной величины – реакции f ₂(nT) – определяется значениями входного воздействия f ₁(nT) в данный момент и в предыдущие моменты f ₁[(n –1) T ], f ₁[(n –2) T ], а также значениями самой реакции в предыдущие моменты f ₂[(n –1) T ], f ₂[(n –2) T ]. Подобные четырехполюсники называют рекурсивными. При отсутствии в правой части уравнений реакции (когда b ₁=0 и b ₂=0) получаем нерекурсивный четырехполюсник (например,фильтр) с разностным уравнением

f ₂(nT)= a ₀ f ₁(nT)+ a ₁ f ₁[(n– 1) T ]+ a ₂ f ₁[(n– 2) T ]

и функцией передачи K (z)= a ₀+ a ₁ z^{– 1}+ a ₂ z ^–2.

Обратным преобразованием этой функции передачи является дискретная импульсная характеристика фильтра

h ¢(nT)= a ₀ d (nT)+ a ₀ d (nT)+ a ₁ d [(n– 1) T ]+ a ₂ d [(n– 2) T ],

которая состоит из конечного числа отсчетов, т. е. нерекурсивные цифровые четырехполюсники относятся к четырехполюсникам с конечной импульсной характеристикой (например, КИХ-фильтры), а соответственно рекурсивные – к четырехполюсникам с бесконечной импульсной характеристикой (например, БИХ-фильтры).

Структурная схема цифрового четырехполюсника

Разностное уравнение задает алгоритм работы цифрового четырехполюсника, который реализуется либо в виде программы для ЭВМ, либо набора дискретных элементов. В любом случае выходная последовательность f ₂[ nT ] вычисляется шаг за шагом с поступлением каждого нового значения входной последовательности f ₁(nT). При этом коэффициенты a_k, b_k и последующие значения последовательностей хранятся в памяти ЭВМ или в дискретных элементах электронного устройства (регистрах). Для наглядности вычислений дискретных значений выходной реакции по разностному уравнению приводят структурную схему вычислений. Ее элементами являются три блока, реализующие три операции (программно или аппаратно). Для хранения предыдущих значений входных и выходных сигналов необходим регистр сдвига или блок задержки, изображаемый на схемах как элемент z ^–1 (рис. 8.4, а). Для суммирования полученных величин необходим сумматор (рис. 8.4, б), а для получения произведения очередной выборки на коэффициенты a_k и b_k –умножитель (рис. 8.4, в).

а) б) в) г)

Рис. 8.4. Элементы структурной схемы четырехполюсника; а – регистр сдвига; б – сумматор; в – перемножитель; г – схема цифрового четырехполюсника

В качестве примера на рис 8.4, г изображена схема цифрового четырехполюсника, для которого K(z) = .

Дата добавления: 2014-12-27