Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому из возможных значений x, соответствует одно или несколько определенных значений y

Функции

Тема №3. Математический анализ и дифференциальные уравнения

Тесты по теме №2

1. Решить систему уравнений:

R

£

£

2. Решить систему уравнений:

R

£

£

3. Решить систему:

R y = любое число, x = 5 + 2y.

£ y = любое число, x = 3 - 2y.

£ y = любое число, x = 1 + 3y.

4. Решить систему уравнений:

R

£

£

5. Решить систему:

£ x = 12, у = 14, z = 2.

R x = -22, у = 14, z = 2.

£ x = 11, у = 12, z = 5.

£ x = 16, у = 10, z = 4.

6. Решить систему уравнений:

R 4; 2; 1.

£ 1; 6; 0.

£ -3; 2; -1.

7. Решить систему двух уравнений:

£ x=-1; y = 1.

£ x=2; y = 4.

R x=3; y = -1.

8. Решить систему уравнений:

£ 1; 1; 3.

£ 4; -2; 0.

R 3; 1; 2.

9. Решить систему уравнений:

R 1; -2; 3.

£ 2; 3; 4.

£ -1; -2; 3.

10. Решить систему:

R -1; 3; 1.

£ 2; 1; -1.

£ 3; 0; 2.

Функция

þ Обозначение: y = f(x) («игрек равно эф от x»)

При этом переменная x называется аргументом (независимым переменным), а у - функцией (зависимым переменным).

! Примеры: Функциями являются зависимости температуры, скорости движения и высоты брошенного вверх тела от времени.

Если каждому значению аргумента отвечает одно значение функции, то функция называется однозначной; если два или больше значений, то - многозначной.

! Примеры: В каждый момент времени сутки температура в данной местности принимает одно единственное значение (однозначная функция); каждой высоте, на которой брошенное вверх тело может находится, соответствуют два определенных значений времени (одно при поднятии, другое при спуске) (двузначная функция).

Область определения функции

Множество всех значений X ( x Î X ), которые может принимать аргумент функции x, называется областью определения этой функции.

Множество всех значений Y ( y Î Y ), которые может принимать функция f(x), называется областью значений этой функции.

! Примеры: Областью определения функции y = x ² является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функции – интервал [0; ¥).

@ Задача 1. Найти область определения функции .

Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 2x – 4 ³ 0 Þ x ³ 2, т.е. x Î [2; ¥).

@ Задача 2. Найти область определения функции .

Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 4 – x ² > 0 Þ – 2 < x < 2, т.е. x Î (– 2; 2).

Элементарные функции

Степенная функция: y = x ⁿ (n - степень, n ÎR)

Линейная y = x, квадратичная y = x ², кубическая y = x ³, гиперболическая и постоянная y = 1функции являются частными случаями степенной функции со степенями n = 1; 2; 3; –1; 0.

Показательная функция: y = a^x (a - основание степени, a > 0, a ¹ 1).

Показательная функция с основанием a = e = 2,718… называется экспоненциальной функцией y = e^x.

Областью определения показательной функции является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функции – интервал (0; ¥).

Логарифмическая функция: y = log_ax (a - основание логарифма, a > 0, a ¹ 1).

Логарифмическая функция с основанием a = e = 2,718… называется натуральным логарифмом: y = lnx, а логарифмическая функция с основанием a = 10 - десятичным логарифмом: y = lgx.

Областью определения логарифмической функции является интервал (0; ¥), а областью значений функции интервал (– ¥; ¥).

Тригонометрические функции: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.

Областью определения функций y = sinx, y = cosx является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функций – интервал [– 1; 1]. Областью определения функции y = tgx является интервал (– p/2 + p n; p/2 + p n), а областью значений функции - (– ¥; ¥). Областью определения функции y = ctgx является интервал (p n; p + p n), а областью значений функции - (– ¥; ¥).

Обратные тригонометрические функции: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.

Областью определения функций y = arcsinx, y = arccosx является интервал [– 1; 1], а областью значений функций – интервал (– ¥; ¥). Областью определения функции y = arctgx является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функции - (– p/2 + p n; p/2 + p n). Областью определения функции y = arcctgx является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функции - (p n; p + p n).

! Пример функции прибыли: В наиболее общем виде прибыль П (profit) определяется как разность между полным доходом (выручкой) от реализации продукции или услуг R (revenue) и полными издержками (затратами) C (cost): П = R – C. С учетом кривой спроса R = pQ = (p₀ – aQ)Q, где Q (quantity) - объем реализации, p (price) - цена. С другой стороны издержки делятся на постоянные и переменные, т.е. C = C_f + C_vQ. Таким образом, П = – aQ ² + (p₀ – C_vQ) – C_f, т.е. зависимость П от Q квадратичная.

Обратная функция

Если из зависимости y = f(x) вытекает соотношение x = g(y), то функция g(y) называется обратной функцией (относительно функции f(x)).

! Пример: Обратной функцией линейной функции y = 2x + 4 является функция .

Дата добавления: 2014-12-27