Общие сведения о планировании факторного эксперимента и его применении при функциональных испытаниях

Цели работы

- обучение студентов составлению планов полного факторного эксперимента (ПФЭ);

- обучение студентов проведению функциональных испытаний математической модели РЭУ в системе MicroCAP 8 с использованием метода планирования полного факторного эксперимента при изменении температуры, напряжения питания и параметров элементов в процессе эксплуатации;

- обучение студентов обработке результатов ПФЭ с целью получения математического описания функционирования РЭУ в виде полинома, дающего зависимость выходного параметра РЭУ от первичных параметров.

При эксплуатации радиоэлектронного устройства непрерывно меняется его состояние, характеризуемое совокупностью выходных параметров и первичных параметров. При этом важно поддерживать работоспособное состояние (работоспособность), то есть состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации [15]. Обычно параметры, численные значения которых определяют, в конечном счёте, работоспособность объекта, называют выходными параметрами. Параметры, численные значения которых влияют на значения выходных параметров, называют первичными параметрами. Для усилителя электрических сигналов, например, одним из выходных параметров может быть величина амплитуды выходного напряжения, а первичными параметрами – амплитуда входного напряжения, величина напряжения питания,температура окружающей среды, численные значенияпараметров элементов (резисторов, конденсаторов, транзисторов и т.д.).

Изменение состояния РЭУ при эксплуатации из-за изменения параметров элементов происходит непрерывно под действием процессов старения, а также при появлении дефектов, повреждений и отказов. Изменение состояния РЭУ из-за условий эксплуатации происходит при изменении температуры, напряжения питания и величин напряжения входных сигналов и т.д.

В инженерной практике часто встречаются случаи, когда трудно получить математическую модель в виде аналитической зависимости выходного параметра от значений первичных параметров (значений параметров элементов, температуры, напряжений и т.д.). Особенно нелегко получить математическую модель для сложных устройств; устройств, содержащих нелинейные элементы; устройств, принцип работы которых недостаточно изучен.

В этом случае устройство удобно представить как «чёрный ящик» (рисунок 3.11), преобразующий входные параметры (х ₁, х ₂, …, х_i, …, х_n) в выходной параметр у. Зависимости выходного параметра от значений первичных параметров определяют экспериментально.

Рисунок 3.11 – Представление РЭУ в виде «чёрного ящика»

К экспериментам, предназначенным для получения математической регрессионной (полиномиальной) модели, дающей зависимость выходного параметра РЭУ от первичных параметров, относятся: полный факторный активный эксперимент, дробный факторный эксперимент (ДФЭ) и т.п. Смысл этих экспериментов состоит в том, чтобы получить разложение неизвестной функции в ряд Тейлора экспериментальным методом. При этом получают зависимость выходного параметра в среднем от изменения конечного числа переменных при наличии не учитываемых или не контролируемых факторов (переменных). Модель, полученная в результате таких экспериментов, дает обычно хорошие результаты по точности расчета в ограниченной области значений и значительно лучшие, чем получающиеся при использовании универсальных эмпирических формул.

В результате эксперимента должны быть найдены коэффициенты аппроксимирующего полинома β₀, β _i, β _ii, β _ij в соответствие с выражением [12-14, 20, 22- 24]:

. (3.8)

Коэффициенты полинома находят по измеренным значениям у точек, лежащих на поверхности, называемой поверхностью отклика и описываемой уравнением регрессии (3.8). В связи с ограниченным объемом эксперимента находят не точные значения коэффициентов, а их оценки. Простейшим, часто используемым полиномом, является полином первого порядка, когда учитываются только коэффициенты β₀ и β _j. Для такой модели, называемой линейной моделью, имеем:

. (3.9)

По величине коэффициентов аппроксимирующего полинома β _i можно оценить степень влияния факторов (первичных параметров х_i)на выходной параметр у. При β _i > 0 с увеличением первичного параметра х_i величина у возрастает. При β _i < 0 с увеличением первичного параметра х_i величина у уменьшается. Чем больше абсолютная величинаβ _i, тем сильнее влияние фактора х_i на величину у.

Коэффициенты регрессии для линейной модели являются составляющими градиента, который указывает направление кратчайшего пути в область оптимума.

Используется также неполный полином второго порядка, когда отбрасываются квадратичные члены β _ii, но учитываются коэффициенты взаимодействия β _ij, представляющие смешанную производную:

. (3.10)

В более сложных случаях используется полный квадратичный полином, содержащий квадратичные члены:

. (3.11)

Полином может быть использован для аппроксимации функции в ограниченной области. Поэтому необходимо выбрать начальные значения x_{i 0} и отклонения Δ x_it, в пределах которых будет применяться полином, и которые могут быть реализованы при проведении опыта.

Задача планирования эксперимента состоит в том, чтобы с помощью специальных экспериментов получить представление о поверхности отклика и затем осуществить движение сразу по всем факторам в область оптимума.

Критерием или параметром оптимизации служит реакция (отклик) выходного параметра у, определяющего поведение изучаемой системы, на изменение первичных параметров х_i.

В РЭА оптимум часто соответствует номинальным значениям дестабилизирующих факторов х_{i 0}, при которыхстепень влияния этих факторов на величину выходного параметра у наименьшая. Когда условия эксплуатации практически не меняются во времени, оптимальными значениями факторов х_{i 0} часто выбирают такие значения,при которых величина выходного параметра у (например, коэффициента усиления усилителя) наибольшая.

Если исходная область эксперимента далека от области оптимума, то описания поверхности отклика с помощью линейных членов ряда (3.8), как правило, оказывается достаточно, так как в такой ситуации важно знать направление движения в область оптимума, а не точное описание поверхности отклика.

После постановки эксперимента осуществляется движение в эту область по направлению градиента (или в противоположном направлении) до тех пор, пока не наступит ухудшение критерия качества. Затем ставится новый эксперимент, опять осуществляется движение по направлению градиента и т.д. Поскольку в каждом эксперименте надо оценивать минимально возможное число неизвестных параметров, то эксперименты строят так,чтобы число их также было минимальным. Когда эксперименты ставят вблизи области оптимума, линейная модель оказывается существенно неадекватной. Задача планирования эксперимента также меняется. В этом случае необходимо оценивать параметры квадратичной модели для того, чтобы уточнить положение точки оптимума. Соответственно к экспериментам, по которым строится линейная модель, добавляются новые опыты для более подробного описания поверхности отклика. Таким образом, планирование эксперимента включает как процедуру поиска, так и сам процесс построения эксперимента. При этом большая часть экспериментов концентрируется в области оптимума, где и требуется более подробное описание поверхности отклика [13].

Обычно при планировании эксперимента от полинома в натуральном масштабе (3.8) переходят к нормированным безразмерным переменным ,что позволяет упростить запись плана эксперимента, обработку наблюдений и оценку результатов. Тогда полином имеет вид [13, 20]:

, (3.12)

где В ₀, B_i, B_ij, В_ii,... – коэффициенты полинома при нормированных переменных, имеющие размерность величины у.

Нормированная переменная получается из выражений:

x_i = x_{i 0} ± D x_i, (3.13)

, (3.14)

где x_{i 0} – среднее значение переменной, относительно которого при эксперименте осуществляется отклонение параметра.

Как видно, переменные могут принимать только два значения: +1 или – 1. Для радиоэлектронных устройств, описываемых зависимостью (3.8), практически важно знать, как ведет себя схема в окрестностях номинальных (расчетных) значений параметров радиоэлементов x_{i 0}. Поэтому наиболее разумным способом расположения экспериментальных точек в факторном пространстве является их равномерное рассредоточение около номинальной (исходной, нулевой). Последнее особенно очевидно, когда у исследователя отсутствуют априорные сведения о поведении функции (3.8) в обозреваемой факторной области.

Рассмотрим устройство, характеризуемое двумя первичными факторами х ₁, х ₂ с номинальными значениями факторами х ₁₀, х ₂₀. Варьируя в процессе эксперимента нормированные переменные (нормированные факторы) на двух уровнях, факторное пространство для k = 2 можно представить в виде квадрата (рисунок 3.12, а).

а) б)

Рисунок 3.12 – Пространственные изображения планирования

эксперимента для устройств, характеризуемых двумя (а)и тремя (б)

Дата добавления: 2014-12-27