Одномерный стержень с теплообменом с боковой поверхности

Примеры применения метода тепловых схем.

Для начала рассмотрим простой случай для одномерного стержня, с боковой поверхности которого происходит теплообмен с окружающей средой, без внутренних источников теплоты.

Рис. 4.1. Одномерный стержень, разбитый на конечные объемы

Температура во всех точках поперечного сечения стержня одинакова и меняется только по длине стержня.

Разбиваем длину стержня на конечные объемы длиной Δx и площадью сечения А и в центре каждого объема помещаем узел. Выбираем граничные условия 1-го рода.

Задаем значения теплофизических величин, необходимых для расчета:

· Длина стержня: l=0.1 m;

· Δx=0.025m;

· Площадь боковой поверхности: S_бок=0,1 m²;

· Температура у левого торца стержня: T₁=600 ⁰C;

· Температура у правого торца стержня: T₅=400 ⁰C;

· Температура среды: T_a=100 ⁰ C;

· Коэффициент теплоотдачи: α=500 ;

· Коэффициент теплопроводности: λ=40 .

Рис.4.2. Тепловая схема одномерного стержня

Нарисуем ориентированный граф для тепловой схемы

Рис.4.3. Ориентированный граф тепловой схемы

На тепловой схеме нумеруем узлы в произвольном порядке. Нулевой номер присваивают узлу с опорной нулевой температурой. Узлы между последовательно соединенными тепловыми проводимостями и источниками заданных температур не вводятся. Обозначим число узлов, за исключением нулевого, N.

Нумеруем в произвольном порядке ветви тепловой схемы, но только те, которые имеют тепловые проводимости и ветви, с последовательно соединенными проводимостями и источниками заданных температур. Обозначим число таких ветвей М.

Составляем матрицу инциденции А, число строк которой равно N, а число столбцов равно М. Элемент iq матрицы А равен: +1, если ветвь q соединена с узлом i и тепловой поток в ветви выходит из i-го узла; -1, если ветвь q соединена с узлом i и тепловой поток в ветви входит в i-й узел; 0, если ветвь q не соединена с узлом i.

Составляем матрицу проводимостей G, число строк и столбцов которой равно М. Матрица G диагональная и ее диагональные элементы ii равны тепловым проводимостям ветвей g_i, i=1,2,…,М.

g₁=g₂=g₃=g₄= = =1600 g_a= =0.02

Разность температуры ΔТ_i в i-й ветви, включенной между узлами 1 и 2 равна ΔТ_i = T₁ – T₂ (поток теплоты направлен от узла 1 к узлу 2). Разности температур в ветвях графа (рис.4.3.) можно представить в виде вектора столбца ΔT

Далее составляется вектор – столбец Т_c известных температур в независимых источниках температур, с числом элементов равным М. Элемент i вектора – столбца Т_а равен: нулю, если данная ветвь i не содержит источника температуры; заданной температуре T_ai, если ветвь i содержит источник температуры T_ai. Если направление потока в ветви соответствует положительному направлению, то величина T_ai, берется со знаком (+), если отрицательному – со знаком (-).

Вектор – столбец неизвестных температур в узлах тепловой схемы

определяется матричным уравнением:

AGA^TT=AGT_c

Заменим AGA^T одним символом B. Тогда температуры в точках находятся следующим матричным выражением:

T=B^-1AGT_c

В итоге получаем численные значения температур в узлах стержня:

Дата добавления: 2014-12-27