Безвыходная ситуация

Дилемма заключенного

Два преступника, Алекс и Бобби, арестованы и содержатся по отдельности. Доказательств о сговоре между ними нет и в случае отсутствия признательных показаний, оба они получат минимальный срок за преступления «без соучастия» – 2 года. Следователь предлагает Алексу сделку: если он признается в сговоре раньше Бобби и облечит его на очной ставке, то получит смягченный «за сотрудничество» приговор (1,5 года), а Бобби получит более строгий приговор (4 года) по статье о преступлении в составе группы. Если до очной ставки в сговоре признаются оба преступника, то каждый получит срок 3 года по статье «с соучастием». Следователь утверждает, что такое же предложение получил Бобби и Алекс не знает о решениях, принятых им. Выгодно ли Алексу заявить о сговоре между ним и Бобби?

Стороны конфликта – Алекс и Бобби (весь контекст задачи лишь указывает на невозможность сговора между ними). У Алекса есть две стратегии: А1 – срочно признаться в сговоре или А2 – не признаваться. При этом на момент, возможно, Бобби тоже признается (стратегия В1), или Бобби не признается (стратегия В2).

Матрица выигрышей имеет следующий вид (здесь первое число показывает выигрыш Алекса, второе – выигрыш Бобби):

	В1	В2
А1	(– 3; – 3)	(– 1,5; – 4)
А2	(– 4; – 1,5)	(– 2; – 2)

Игра является биматричной и не является «игрой с нулевой суммой», однако может быть рассмотрена с точки зрения доминирования стратегий: при допущении, что Алекс демонстрирует экономическое поведение, он отвергает стратегию А2 на том основании, что «выигрыши», получаемые им при использовании стратегии А1 во всех случаях больше, чем при использовании стратегии А2. Бобби, скорее всего, поступит также.

При возможности сговора игра может считаться кооперативной так как сумма выигрышей не равна нулю. Алекс и Бобби минимизируют суммарный срок, выбирая «молчание».

Возможна альтернативная формулировка условия этой игры. У двух игроков – по две карты: «Предать» и «Молчать». Они кладут по одной карте рубашкой вверх перед банкиром, который открывает карты и выдает выигрыш в соответствии с таблицей, причем выигрыш при одностороннем предательстве должен превышать выигрыш и при обоюдном молчании, и при двойном предательстве, и при одностороннем молчании – по убыванию величины (Д. Хофштадер). Игра не является справедливой.

Требуется предсказать поведение игроков, если выигрыши сторон при взаимодействии соответствуют значениям в следующей матрице. В ней также выделены особые сочетания стратегий, которые не стимулируют стороны к изменению решений в одностороннем порядке, так как это влечет снижение выигрыша. Замечательно, что не все такие ситуации соответствуют максимальному суммарному или индивидуальному выигрышу, возможному в игре:

	В 1	В 2	В 3
А 1	(0; 0)	(25; 40)	(5; 10)
А 2	(40; 25)	(0; 0)	(5; 15)
А 3	(10; 5)	(15; 5)	(10; 10)

Один из способов анализа биматричных игр – поиск и интерпретация «тупиковых» ситуаций, возникающих при примитивном эгоцентричном поведении. Среди всех возможных решений о выборе игроками их стратегий особого внимания заслуживают такие сочетания, которые не стимулируют никого из игроков в одностороннем порядке применять другую стратегию, они называются равновесиями по Нэшу. На приведенном выше примере видно, что равновесие по Нэшу может указывать и выгодные, и взаимно невыгодные ситуации, которых следует избегать, используя взаимные договоренности между сторонами. В частном случае игр с нулевой суммой и «седловая точка», и смешанная стратегия в серии игр – равновесия по Нэшу.

Для поиска равновесий по Нэшу в матрице выигрышей используется следующее правило: ячейка таблицы соответствует равновесию по Нэшу, если выигрыш первого игрока в ней – максимальный по столбцу, а выигрыш второго игрока – максимальный по строке.

Выделенные ячейки в приведенной выше матрице выигрышей – равновесия по Нэшу, остальные ячейки соответствуют неустойчивым сочетаниям стратегий и могут быть исключены из анализа.

Итак, ограничимся только рассмотрением найденных равновесий по Нэшу и сделаем достаточно очевидные выводы о поведении игроков. Если сторонам удается достичь соглашения, они могут совместными действиями максимизировать суммарный выигрыш, который достигнет 65 ед. Сохраняя независимость и применяя максиминный принцип, обе стороны получат суммарный выигрыш 20 ед.: мало, зато гарантированно и поровну.

Дата добавления: 2014-12-27