Признаки сравнения

Простой признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда , , причем для любых . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда , . Если

, где ,

то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Замечание. При использовании признаков сравнения в качестве рядов, с которыми проводится сравнение исходного ряда, часто используются следующие:

а) ряд геометрической прогрессии , который сходится при и расходится при ;

б) обобщенный гармонический ряд , который сходится при и расходится при .

Пример 6.2. Исследовать на сходимость ряды.

а) .

Используем простой признак сравнения. Так как и ряд сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем , то исходный ряд также сходится.

б) .

Используем предельный признак сравнения.

Здесь . Для сравнения возьмем гармонический ряд с общим членом . Тогда

,

т. е. предел конечен и отличен от нуля. Так как гармонический ряд расходится, то исходный ряд также расходится.

Дата добавления: 2014-12-27