КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , (7) где и - заданные непрерывные функции. Замена , где - новая неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует линейное уравнение (7) в уравнение с разделяющимися переменными вида: . (8) Решив уравнение (8), найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения (7): . Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида: , (9) где и - заданные непрерывные функции, . Замена , где - неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует уравнение Бернулли в уравнение с разделяющими переменными вида: . (10) Решив уравнение (10) найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения Бернулли (9): . Задание 1. Решить уравнение: . Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как правую часть уравнения можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Перепишем уравнение в виде: и разделим переменные: . (11) Интегрируем (11): , и получаем общее решение данного уравнения: . Задание 2. Решить уравнение: . Решение. Данное уравнение является однородным. Сделаем замену искомой функции: , где функция - новая искомая функция. Тогда имеем: . Подставляя значения и в исходное уравнение, получим уравнение , или . Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . (12) Интегрируем (12): , и получаем общий интеграл уравнения (12): . Возвращаясь к функции , находим общий интеграл исходного уравнения: . Задание 3. Решить уравнение: . Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь . Следовательно, . Сделаем замену , где - новая неизвестная функция. Тогда . Подставляя значения и в исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменным:
, или . Разделив переменные: и интегрируя , получаем, что . Возвращаясь к функции , находим: - общее решение исходного линейного уравнения.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 336; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |