Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли




Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

, (7)

где и - заданные непрерывные функции.

Замена , где - новая неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует линейное уравнение (7) в уравнение с разделяющимися переменными вида:

. (8)

Решив уравнение (8), найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения (7): .

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида:

, (9)

где и - заданные непрерывные функции, .

Замена , где - неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует уравнение Бернулли в уравнение с разделяющими переменными вида:

. (10)

Решив уравнение (10) найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения Бернулли (9): .

Задание 1. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как правую часть уравнения можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Перепишем уравнение в виде:

и разделим переменные:

. (11)

Интегрируем (11):

,

и получаем общее решение данного уравнения:

.

Задание 2. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение является однородным. Сделаем замену искомой функции: , где функция - новая искомая функция. Тогда имеем: . Подставляя значения и в исходное уравнение, получим уравнение

,

или

.

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

. (12)

Интегрируем (12):

,

и получаем общий интеграл уравнения (12):

.

Возвращаясь к функции , находим общий интеграл исходного уравнения:

.

Задание 3. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь . Следовательно, . Сделаем замену , где - новая неизвестная функция. Тогда . Подставляя значения и в исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменным:

,

или

.

Разделив переменные:

и интегрируя

,

получаем, что

.

Возвращаясь к функции , находим:

- общее решение исходного линейного уравнения.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 336; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.