КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами второго порядка: (33) Здесь - постоянные числа, - неизвестные функции. Решением системы (33) называется совокупность непрерывно дифференцируемых функций , обращающих уравнения системы (33) в тождества. Общим решением системы (33) называется совокупность непрерывно дифференцируемых функций , где - произвольные постоянные, удовлетворяющих двум условиям: 1) при любых значениях постоянных и функции являются решениями системы (33); 2) любое решение системы (33) может быть получено из функций при соответствующих значениях постоянных и . Рассмотрим один из методов решения систем дифференциальных уравнений – метод исключения. Продифференцируем одно из уравнений системы (33) по (например, первое уравнение). Получим: . (34) Подставим в уравнение (34) значение из второго уравнения системы (33): (35) Далее, из первого уравнения системы (33) находим значение . (36) и подставим его в уравнение (35). В результате получим уравнение: . (37) Уравнение (37) - линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией . Методы интегрирования ЛОДУ рассмотрены в предыдущем пункте. Пусть общее решение ЛОДУ (37) имеет вид: (38) где - произвольные постоянные. Подставляя функции и в формулу (36), находим вторую искомую функцию: . (39) Совокупность формул (38) и (39) дает общее решение системы (33): Задание. Решить систему: Решение. Для данной системы . Следовательно, чтобы найти функцию , надо решить уравнение (см. (37)): . (40) Характеристическое уравнение для ЛОДУ (40) имеет вид: Его корни . Следовательно, общее решение уравнения (40) имеет вид: . (41) Далее, чтобы найти функцию воспользуемся выражением (36). Имеем: . (42) Совокупность формул (41) и (42) дает общее решение исходной системы:
Глава 3. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Теоретические вопросы 1. Определение функции многих переменных. 2. Предел и непрерывность функции многих переменных. 3. Частные производные. 4. Дифференциал функции. 5. Производная по направлению. Градиент. 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 7. Экстремум функции нескольких переменных. Литература 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2. 2. Щипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 1990. 3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1998. Ч. 1,2.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 281; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |