Получение модели методом ОЦКП

Исходными данными являются базовые значения факторов (число факторов k=n=3) и шаги варьирования. Задана матрица планирования эксперимента и результаты трёх дублирующих эскпериментов (для каждого эксперимента проведено 3 дублирующих опыта, n=3 – количество факторов,

m=3 – количество дублирующих опытов). Общее количество экспериментов в методе ортогонального центрального композиционного планирования

Обозначим L – порядковый номер эксперимента, L = 1,…,N.

В случае трёхфакторного эксперимента N=15 (15 экспериментов). Результаты всех опытов запишем в виде матрицы размерности 15х3, обозначим её элементыY lj, где l-номер эксперимента, а j-номер дублирующего опыта.

Результаты опытов

Находим среднее значение в каждой серии опытов:

Базовые значения факторов (от 0 до 10)

Шаги варьирования факторов (от 0 до 1)

Исходные данные для ОЦКП

L	X1	X2	X3	Yl1	Yl2	Yl3
l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8 l9 l10 l11 l12 l13 l14 l15	-1.000   1.000   -1.000   -1.000   1.000   -1.000   1.000   1.000   0.000   1.215   -1.215   0.000   0.000   0.000   0.000	-1.000   -1.000   1.000   -1.000   1.000   1.000   -1.000   1.000   0.000   0.000   0.000   1.215   -1.215   0.000   0.000	-1.000   -1.000   -1.000   1.000   -1.000   1.000   1.000   1.000   0.000   0.000   0.000   0.000   0.000   1.215   -1.215	34.1   49.4   34.0   34.1 49.4 34.1 49.4 49.4 41.4 51.2 32.6 41.3 41.4 41.4 41.3	34.0   34.0 49.4 34.0 49.4 49.4 34.0 49.4 41.3 41.3 41.4 51.2 32.6 41.4 41.3	34.1   34.0 34.0 49.4 34.0 49.4 49.4 49.4 41.4 41.3 41.3 41.3 41.3 51.2 32.6

Матрица планирования Z

Общий вид матрицы планирования эксперимента ОЦКП:

где l-номер опыта, от 1 до15, j-номер фактора, от 1 до 3.

Найдём дисперсию в каждой серии опытов по формуле:

I. Найдём коэффициенты нормированной модели

где X1, X2, X3-нормированные значения факторов.

ЛИНЕЙНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ b1, b2, b3 находят по формуле:

Zlj - элементы матрицы планирования экспериментов, при этом 1-й столбец матрицы планирования скалярно умножается на столбец средних значений.

Коэффициенты b2,b3 рассчитываются аналогично, но вместо первого столбца берутся соответственно второй и третий.

СМЕШАННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ b12, b13, b23 находят по формуле:

при этом перемножаются два столбца (i-ый и j-ый) из матрицы планирования и столбец средних значений.

Например, требуется найти

Аналогично можно найти b13 и b23.

КВАДРАТИЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ b11, b22, b33 находят по формуле:

Аналогично находим b22 (j=2), b33(j=3).

СВОБОДНЫЙ ЧЛЕН рассчитываем по формуле:

II. Проверим значимость найденных коэффициентов по t-критерию Стьюдента.

Дисперсии коэффициентов находят по следующим формулам.

Для линейных коэффициентов:

D_в=(D₁+D₂+…+D₁₅)/15 – дисперсия воспроизводимости опытов,

Для проверки значимости смешанных коэффициентов используются расчётные формулы:

Для проверки значимости квадратичных коэффициентов используются расчётные формулы:

Для проверки значимости свободного члена используются расчётные формулы:

Значения табличных коэффициентов приведены в [9], с. 87.

Для проверки значимости коэффициентов находим расчётные значения t-критерия Стьюдента по формуле:

Для всех коэффициентов достаточно найти одно значение t крит по таблице критических значений для t-критерия Стьюдента при f=N(m-1)=15(3-1)=30

Если t расч(b)<t крит, то коэффициент b незначимый, его исключают из модели, приравнивая к нулю. Например, если t расч(b12)<t крит., то b12=0

Если t расч (b)>t крит, то коэффициент значимый и его оставляют в модели.

После того, как в модели остались только значимые коэффициенты, нужно проверить адекватность полученной математической модели по критерию Фишера, то есть сравнить значения Y, полученные при расчёте по нормированной модели (1) с средними значениями по каждой сери и опытов. При расчете по нормированной модели в качестве значений X1, X2, X3 выбирают L-ую строку матрицы

планирования и находят при

Например, если все коэффициенты значимые

Сравнить между собой значения результатов эксперимента с значениями, рассчитанными по найденной математической модели позволяет дисперсия адекватности

а d - количество незначимых коэффициентов, которые мы исключили из модели(приравняли к нулю).

Например, если d=0

Расчётное значение критерия Фишера

где Dв -дисперсия воспроизводимости, которую мы использовали при проверке значимости коэффициентов.

Табличное (критическое) значение критерия Фишера

F крит находят по таблице.

Степени свободы f1 и f2 выбирают по правилу.

1) Если DА<Dв, то f1=N-d=15-d

f2=N(m-1)=15(3-1)=30

2) Если Dв<DA, то f1=N(m-1)=30

f2=N-d=15-d

Если F расч. < F крит., то получена адекватная нормированная модель (1)

Если F расч. > F крит., то модель неадекватна, её использовать нельзя. Для получения адекватной модели рекомендуется уменьшить шаги варьирования (DX1= d₁, DX2= d₂, DX3= d₃).

III. Если нормированная модель (1) адекватна, то нужно перейти к реальным физическим величинам.

Для этого в модель (1) с учётом того, что незначимые коэффициенты =0 нужно подставить

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Дата добавления: 2014-12-27