Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Приклад




В таблиці наведені значення інтегралу імовірності

Використовуючи першу інтерполяційну функцію Ньютона, наближено знайти Ф (1,43).

Доповнюємо таблицю кінцевих різностей функції у до третього порядку включно

х Y Δ y Δ2 y Δ3 y
1,0 0,8427 0,0375 -0,0074 0,0010
1,1 0,8802 0,0301 -0,0064 0,0010
1,2 0,9103 0,0237 -0,0054 0,0009
1,3 0,9340 0,0183 -0,0045 0,0009
1,4 0,9523 0,0138 -0,0036 0,0009
1,5 0,9661 0,0102 -0,0027 0,0005
1,6 0,9763 0,0075 -0,0022 0,0006
1,7 0,9838 0,0053 -0,0016 0,0004
1,8 0,9891 0,0037 -0,0012  
1,9 0,9928 0,0025    
2,0 0,9953      

 

За х 0 приймаємо найближче табличне значення до шуканого значення х = 1,43, тобто вважатимемо х 0 = 1,4. Так як h = 0,1, то .

Підставимо в формулу (***)

Табличне значення:

Ф (1,43) = 0,9569 (згідно з джерелом «Таблиці функцій» Янке і Едме).

На практиці часто зустрічається необхідність для функції, заданої таблично,підібрати аналітичну форму, що являє собою с певною точністю данні табличні значення функції. Така формула називається емпіричною, причому задача побудування її не однозначна.

При використанні емпіричної формули потрібно враховувати загальні властивості функції. Якщо з табличних різниць буде виявлено, що n і різниці функції для рівновіддалених значень аргументна сталі, то в якості емпіричної формули можна взяти відповідну інтерполяційну формулу Ньютона.

Приклад. Побудувати емпіричну формулу для функції у, заданої таблицею

х            
у 5,2 8,0 10,4 12,4 14,0 15,2

 

Побудуємо таблицю різниць задля тог, що переконатися, що друга різниця стала:

х Y Δ y Δ2 y
  5,2 2,8 -0,4
  8,0 2,4 -0,4
  10,4 2,0 -0,4
  12,4 1,6 -0,4
  14,0 1,2  
  15,2    

 

Використовуючи інтерполяційну формулу Ньютона в формі (***) і враховуючи, що h = 1, будимо мати

чи

Друга інтерполяційна формула Ньютона.

Перша інтерполяційна формула Ньютона практично не зручна для інтерполювання функції коло кінця таблиці. В цьому випадку зазвичай приміняться друга інтерполяційна формула Ньютона.

Виведемо її.

Нехай маємо систему значень функції

для рівновіддалених значень аргументу .

Побудуємо інтерполюючий поліном у вигляді:

Чи використовуючи узагальнюючу степінь.


4. ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ ФОРМУЛИ НЬЮТОНА І ЛАГРАНДЖА, НАБЛИЖЕННЯ СПЛАЙНАМИ

 

Інтерполяція.

Найпростіше завдання інтерполювання в наступному. На відрізку [ а, b ] задані точки x 0, x 1,… x 4, які мають назву вузли інтерполяції, і значення деякої функції f (x) в цих точках f (x 0) = y 0, f (x 1) = y 1,… f (x n) = yn (1)

Необхідно побудувати функцію F (x) (інтерполяційна функція), що належить відомому класові і приймає в вузлах інтерполяції ті самі значення, що f (x), тобто таку, що

F (x 0) = y 0, F (x 1) = y 1,… F (x n) = y n (2).

Теоретично це означає, що потрібно знайти криву y = F (x) деякого певного типу, що проходить через завдану систему точок Mi (x i, y i), і = 0, 1,… (рис.)

В такій загальній постановці задача може мати незліченну множену рішень чи зовсім не мати їх.

Проте, задача стає однозначною, якщо замість довільної функції F (x), шукати поліном Р n(x) степені не вище n, що задовольняє умови (2),тобто такої, що

Р (x 0) = y 0, Р (x 1) = y 1,… Р (x n) = y n.

Отриману інтерполяційну формулу y = F (x)

Зазвичай використовують для наближеного обчислення значень даної функції f (x) для аргументу х, відмінних від вузлів інтерполювання.

Для знаходження коефіцієнтів полінома

можна записати систему рівнянь

(3)

Визначник цієї системи є так званий визначник Ван-дер-Монда

(4)

Отже, система (3) має єдине рішення.

Вирішивши цю систему(наприклад, за формулами Крамера чи методом Гауса) знайдемо інтерполяційний поліном.

Ітераційний поліном Л агранжа.

Нехай на відрізку [ a, b ] дані n +1 різних значень аргументу x 0, x 1,… x n і відомі відповідні значення y 0, y 1,… y n. Необхідно побудувати поліном L n(x) степені не вище n, що має в завданих вузлах x 0, x 1,… x n ті самі значення y 0, y 1,… y n, тобто такі, що Ln (xі) = yі, і = 1, 2,… n. Вирішимо спочатку часткову задачу: побудуємо поліном Рі (x) такий, що

Рі (xj)=0, при і Рі (xі)=1 (5)

Так як шуканий поліном обертається в нуль в n точках x 0, x 1,… x і-1, x і+1,… x n, то він має вигляд

, (6)

де .

Сталу можна визначити, якщо покласти x=xі, тоді

, та

(7)

Підставивши (7) в (6) матимемо

(8)

Тепер можна вирішити загальну задачу: знайти поліном Ln (x) такий, що

.

Цей поліном має вигляд (9).

Насправді, по-перше, очевидно, побудованого полінома Ln (x) не вище n, і по-друге, з урахуванням (5), маємо

(j = 0, 1, … n).

Підставивши в (9) значення Р (xі) з (8) матимемо

.

Це і є інтерполяційний поліном Лагранжа.

Приклад 1.

n = 1, тоді

 

Приклад 2.

n = 2, тоді

Приклад 3.

n = 3, тоді

 

Інтерполяція сплайнами.

Коли необхідно провести графік функції по відомим точкам y (xi), зазвичай користуються лекалом. Проте, якщо точки розташовуються рідко, то досить важко підібрати ділянку лекала, яка б проходила відразу через багато точок. Тоді досвідчені інженери беруть залізну лінійку, ставлять її на ребро й згинають, притримуючи в декількох місцях так,щоб її ребро проходило відразу через всі точки.

Цей спосіб інтерполяції можна описати математично. Гнучка лінійка – це пружний брусок; з курсу опору матеріалів відомо,що рівняння його вільної рівноваги є . Отже, в проміжку між кожною парою сусідніх вузлів інтерполяційна функція є багаточленом третьої степені, який зручно записати у вигляді

(1)

.

Коефіцієнти багаточлена визначаються на кожному інтервалі з умов у вузлах. Очевидно, в вузлах багаточлен повинен приймати табличні значення функції:

(2)

(3)

Кількість цих рівнянь вдвічі менша кількості невідомих коефіцієнтів, тому для певної задачі необхідні додаткові умови. Для їх отримання знайдемо першу і другу похідні багаточлена (1)

при

і вимагатимемо безперервності цих похідних (тобто гладкості лінійки) в усіх точках, включаючи вузли.

Прирівнюючи у внутрішньому вузлі праву і ліву границі похідних, отримаємо:

(4)

(5)

Бракуючі дві умови зазвичай отримують з природного уявлення про низьку кривизну на кінцях:

(6)

Що відповідає вільно відпущеним кінцям лінійки. Проте якщо існують додаткові відомості про поведінку функції на кінцях, то можна записати інші крайові умови.

Рівняння (2) - (7) утворюють систему лінійних рівнянь для визначення 4 N невідомих коефіцієнтів. Цю систему можна вирішувати методом виключення Гауса або іншим прямим чи ітераційним методом.


5. МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

 

До питання про відновлення функції за набором її значень можна підійти й по іншому. При побудові інтерполяційних формул ми вимагали точного збігу її значень в вузлах. Проте часто можна обмежитися вимогою мінімального відхилень цих значень від табличних. Наприклад, якщо значення yi свідомо містять похибки чи простий вигляд апроксимуючої функції для нас важливіше точності, то такий підхід закономірний.

Нехай в наслідок експерименту ми отримали ряд величини y: y1, y2,… yn, відповідних значенням аргументу t1, t2,… tn і нам необхідно встановити емпіричну залежність між y і t (рис 3).

Очевидно, якщо з’єднати послідовно всі ці точки, то матимемо ламану лінію, яка нічого спільного не матиме з шуканою залежністю y = f (t). Це витікає хоча б з того, що форма цієї ламаної не буде відтворюватися при повторних серіях вимірювань. Виміряні значення yі будуть в загальному випадку зміщені відносно шуканої кривої y = f (t) як в бік більших, так і в бік менших значень, внаслідок статичного розкиду (див. рис.).

Задача полягає в тому, щоб по заданих експериментальних точках провести криву (не ламану), яка проходила б якомога ближче до істинної функціональної залежності y = f (t). Теорії імовірності показує, що найкращим наближенням буде така крива (чи пряма) лінія, для якої сума квадратів відстаней по вертикалях від точок до кривої буде мінімальною. Цей метод і має назву метод найменших квадратів.

Сутність методу.

Вважатимемо, що шукана залежність виражається функцією y = f (t, А 1, А 2,… А m), де А 1, А 2,… А m – параметри. Значення цих параметрів визначається так, щоб точки yi розташовувались по обидва боки кривої y = f (t) якомога ближче до останньої,тобто щоб сума квадратів відхилень виміряних значень yi від функції y = f (t) була б найменшою. Це відповідає припущенню, що розкид точок yi відносно кривої y = f (t) підпорядковується законові нормального розподілу. Як вже відмічалося вище, мірою цього розкиду є дисипація чи її наближений вираз – середній квадрат відхилень

(1)

і вимога мінімального розкиду відповідає вимозі мінімального значення цього середнього квадрату.

Відомо,що функція приймає мінімальне значення, якщо перша похідна дорівнює нулеві, а друга похідна додатна. Для функцій багатьох змінних.

Таким чином, з умови мінімуму отримаємо систему рівнянь для визначення найкращих значень параметрів:

(2) і =1, 2,… m, m < n.

Зазвичай формулу залежності y = f (t, А 1, А 2,… А m) задають у вигляді поліному

(3)

(m < n -1)

або у вигляді будь-якої іншої системи лінійно незалежних функцій

m < n (4)

яка досить добре передає загальний хід залежності y = f (t), який можна встановити за розташуванням точок (tі, yі).

У випадку вибору f (t, А 1, А 2,… А m) в вигляді (3) рівняння (2) приймуть вигляд:

(і =0, 1, 2,… m) m < n -1

тобто

чи (і =0, 1, … m, m +1< n)

У випадку вибору розкладання f (t, А 1, А 2,… А m) в формі (4) рівняння (2) приймають вигляд

тобто

або (і =1, 2, … m, m < n)

Рішення цих систем лінійних рівнянь дозволяє однозначно визначити коефіцієнти Аі розкладання y = f (t).


Рішення лінійних алгебраїчних рівнянь.

Отриманий дискретний аналог являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яку можна вирішити або прямим, або ітераційним методом.

Прямими методами називаються такі методи, які дозволяють за кінцеве число дій отримати точне рішення системи. Слова «точне рішення» слід сприймати умовно як характеристику алгоритму, а не реального обчислювального процесу. Алгоритми, що лежать в основі простих методів, дають точне рішення, якщо всі величини в системі задані і всі обчислення проводяться абсолютно точно,без похибок округлення. До прямих методів відносяться, наприклад, метод послідовного виключення невідомих Гауса.

Ітераційні методи засновані на побудуванні ітераційної послідовності, що сходиться до шуканого рішення. Обчислюючи певне число ітерацій і обриваючи процес, можна отримати наближене рішення системи з будь-якою попередньо завданою точністю.

Вибір в кожному окремому випадку метода рішення алгебраїчної системи визначається багатьма факторами: особливостями матриці А, порядком системи U, характеристикою ПЕОМ – швидкодією,пам’яттю, ПО, ОС, характером задачі,що вирішується.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-23; Просмотров: 884; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.057 сек.