Формализация задачи

Математическая постановка (формализация) задачи – создание математической модели завершает этап постановки задачи.

Математическая модель начинается с момента, когда формулируется система аксиом, описывающая не только сам объект, но некоторую алгебру, т.е. совокупность правил, определяющих допустимые операции над объектом. При формализации задачи должны быть определены функциональные зависимости, связывающие переменные и параметры модели.

Формализация задачи существенно зависит от знания исследуемого объекта, задачи исследования, а также вида создаваемой модели. Общего метода подбора зависимостей (отношений, функций) не существует. Чем больше функциональных зависимостей известно исследователю, чем больше он может привлечь и критически осмыслить аналогий, тем успешнее будет его деятельность по разработке модели. Полезным может также оказаться, благодаря наглядности, графические представления.

Относительно просто устанавливается структура асимптотических моделей. Задача сводится к уточнению структуры модели, определению значения ее параметров и входных переменных.

В моделях ансамблей обязательной и сложной задачей является выявление изменений в свойствах подсистем при объединении их в систему.

Наибольшие трудности возникают при разработке феноменологических моделей.

В /1/ на основе опыта разработки моделей предложены основные варианты (принципы) подхода к разработке моделей при различной доступности к информации относительно структуры системы и протекающих в ней процессов.

Принцип 1. Система достаточно проста и прозрачна, так что ее можно обследовать и понять, например, путем наблюдения или расспросов людей, работающих с системой. Непосредственно по результатам изучения системы можно сконструировать ее модель.

Принцип 2. Если структура системы очевидна, но методы описания не ясны, можно воспользоваться сходством исследуемой системы с другой, в том числе, возможно, более простой, описание которой известно.

Принцип 3. Структура системы неизвестна, но ее можно определить путем анализа данных о функционировании системы. Фактически будет получена гипотеза о структуре, которую затем необходимо проверить экспериментально.

Принцип 4. Анализ данных о работе системы не позволяет определить влияние отдельных переменных на показатели работы системы, возникает необходимость в проведении эксперимента с целью выявления релевантных факторов и их влияния на работу системы. При этом предполагается возможность проведения соответствующего эксперимента на системе.

Принцип 5. Достаточные описательные данные о системе отсутствуют, проведение эксперимента на системе не допустимо. В этом случае может быть построена достаточно подробная модель искусственной действительности, используемая для накопления статистики о возможном функционировании системы путем статистических испытаний гипотез о реальном мире.

Рекомендуется при создании математической модели действовать в следующем порядке:

- подыскать аналогии;

- подобрать и рассмотреть специальные примеры, характерные для решаемой задачи;

- принять решение о выборе класса (типа) модели, в том числе решить будет модель аналитической, имитационной; комбинированной;

- записать соображения, характеризующие закономерности, имеющие место в системе, при необходимости провести дополнительные исследования;

- если модель не поддается описанию, найти способы упрощения проблемы.

При определении отношений между элементами системы, а так же между системой и окружающей средой необходимо точно установить причинно-следственные связи.

Различают связи:

- реактивные: система (элементы системы) реагирует на событие (при повороте выключателя — зажглась лампа);

- ответные: одно событие влечет за собой другое (стемнело — включаем освещение);

- автономные: появление события, ничем непосредственно не обусловлено (зачастую это поведение человека).

Причинно-следственные связи могут быть детерминированными и вероятностными. При выявлении этих связей иногда возникают грубые (иногда преднамеренные) ошибки.

В общем случае некоторые модельные соотношения выводятся непосредственно при анализе системы, но часть соотношений принимаются без вывода и являются постулатами модели, от их качества в значительной мере зависит адекватность модели.

Постулаты имеют различное происхождение.

(1) Некоторые постулаты вытекают из универсальных физических законов, в том числе законов с ограниченной областью действия.

(2) Феноменологические законы — хорошо эмпирически обоснованные, но имеющие ограниченную область действия. Применение такого закона должно быть обусловлено попаданием исследуемого явления в зону действия закона.

(3) Полуэмпирические законы, действенность которых зависит от условий применения. Чаще всего эти законы базируются на «слепой» обработке экспериментальных данных. Применение подобных законов следует контролировать рациональными рассуждениями.

На этапе формализации важно правильно ограничить число степеней свободы, не «заложить» вычислительную неразрешимость задачи. Проблема размерности существенно ограничивает возможности эффективного применения многих математических методов.

При разработке модели сложной системы очень часто полезно начать с создания «грубой» модели, в которой учитывается по возможности наименьшее число «основных» переменных и параметров. По мере уточнения подробностей относительно функционирования системы переменные и параметры можно выстроить в некоторую иерархическую последовательность Классический пример подобной иерархии — небесная механика.

1-ая, грубая модель — планеты — материальные точки, подчиняющиеся законам Ньютона. Определены законы Кеплера.

2-ой шаг — учитывается размер планет и движение солнца. Уточняются траектории движения всех тел.

3-ий шаг — учет релятивистских эффектов.

Иногда удобно иерархию переменных связывать с масштабами переменных, например, различать переменные быстро, нормально и медленно меняющиеся. Последние на некотором временном интервале при моделировании можно «заморозить».

После получения первого варианта формализации проанализировать все допущения и уточнить математическую постановку.

Дата добавления: 2014-12-27