Решение ОДУ n-го порядка

Методы, рассмотренные выше, позволяют найти численное решение ОДУ только первого порядка. Однако они применимы и к уравнениям n -го порядка. Для этого ОДУ n -го порядка предварительно приводится к системе n уравнений первого порядка.

Пусть, например, требуется решить ОДУ второго порядка

,

с начальными условиями , , .

Обозначим z=y’. В результате подстановки в исходное уравнение получим систему двух уравнений первого порядка

,

с двумя неизвестными функциями и и начальными условиями

, .

В общем виде система уравнений может быть представлена в виде

(6.5.4-1)

Решением системы (6.5.4-1) являются две функции и , из которых - решение исходного уравнения второго порядка. Выбрав, например, метод Эйлера, приближенное решение системы (6.5.4-1) можно найти с помощью двух рекуррентных формул:

Пример 6.5.4-1. Дано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка при начальных условиях , , на отрезке [0;0.4] с шагом .

Обозначим , тогда ОДУ второго порядка можно записать в виде системы ОДУ первого порядка

с начальными условиями , , .

Применим метод Эйлера для решения системы ОДУ

и т.д.

xi	yi	zi
0.2	1.4	1.6
0.4	1.72	1.808

В общем виде ОДУ n-го порядка

.

Введем следующие обозначения:

…

В результате этих подстановок перейдем к системе n ОДУ первого порядка:

(6.5.4-2)

Решением системы (6.5.4-2) являются функции

При заданных начальных условиях , и использовании метода Эйлера решение может быть получено с помощью рекуррентных формул

Окончательным решением ОДУ n-го порядка, согласно определению, служит функция , вычисленная на заданном множестве точек [a;b].

Дата добавления: 2014-12-27