КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Двойные интегралы
Пусть функция z=f (x,y)определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D плоскости Oxy. Разобьем область D произвольным образом на n областей S 1, S 2, …, Sn, которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке: , , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через - площадь, через - диаметр i- ойэлементарной области (i= 1,…, n), . Составим выражение (1) Выражение (1) называется интегральной суммой Римана для функции z=f (x,y)по области D. Заметим, что она зависит от способа разбиения области D на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации. Если существует предел интегральной суммы Римана (1) при , и этот предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области, ни от выбора точек пунктуации, то он называется двойным интегралом от функции z=f (x,y)по области D и обозначается
Таким образом, (2) Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам определенных интегралов. Отметим два, наиболее часто используемых на практике, свойства. 1) Свойство линейности. Если функции f (x,y)и g(x,y) интегрируемы по области D, то справедлива формула: 2) Свойство аддитивности. Если область D разбита на две области D 1 и D 2 без общих точек, и функция f (x,y)интегрируема во всех точках области D, то справедлива формула: Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область D ограничена слева и справа вертикальными прямыми x=a, x=b, а снизу и сверху – кривыми ,причем - непрерывны и на промежутке [ a,b ](Рис.1).Такую область назовем правильной в направлении оси Oy. Тогда , (3) причем сначала вычисляется интеграл по переменной y (x - параметр), а полученный результат интегрируется по x.
Рис.1. Заметим, что если кривая (или ) на промежутке [ a,b ]задается различными аналитическими выражениями, например, , то интеграл справа в (3) записывается в виде суммы двух интегралов: . Аналогично, пусть область D ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми y=c, y=d, а слева и справа - кривыми , причем непрерывны и на промежутке [ c,d ](Рис.2). Такую область назовем правильной в направлении оси Ox. Тогда (4)
Рис. 2
Теорема (о замене переменных в двойном интеграле) Пусть выполняются условия: 1) функции x=x (u, v) и y=y (u, v)таковы, что каждой точке с координатами (x, y) из области D соответствует единственная точка с координатами (u, v) из области D 1 и наоборот; 2) функции x=x (u, v) и y=y (u, v)имеют непрерывные частные производные по переменным u и v в области D 1; 3) функция z=f (x, y) определена и интегрируема в области D. Тогда справедлива формула: , (5) где - якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам. Частным случаем криволинейных координат для двойного интеграла являются полярные координаты: , для которых якобиан равен и формула (5) примет вид: (6) Задание 1. Вычислить повторный интеграл: . Решение. Вычислим сначала интеграл по переменной y (x - параметр). Имеем . Полученный интеграл является обычным определенным интегралом. Окончательно имеем . Задание 2. Записать данный двойной интеграл в виде повторных, взятых в различных порядках: , область интегрирования D ограничена линиями x= 2, y=x, y= 1 /x. Решение. Построим область интегрирования D (рис.3). 1)По формуле (3) при a= 1, b= 2, получаем .
Рис. 3. 2) Если же для вычисления данного интеграла применить формулу (4), то надо положить c= 1/2, d= 2, , . Тогда . Задание 3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: . Решение. Область интегрирования D ограничена снизу кривой , сверху кривой
и представлена на рис. 4. Рис. 4. Поэтому имеем . Задание 4. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл: . Решение. Положим и применим формулу (6). Так как , то . Областью интегрирования исходного интеграла является четверть круга радиуса R=1 с центром в начале координат (рис. 5). Рис. 5. Следовательно, в области D 1 изменяется от 0 до 1 и . Таким образом, имеем: .
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 664; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |