Погрешность и трудоемкость интерполяции

Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа имеет следующий вид:

, (2.17)

где - пока неизвестные полиномы n-й степени. Легко видеть, что условия интерполяции (1) в данном случае означают

(2.18)

Таким условиям удовлетворяют следующие полиномы

(2.19)

Поскольку степенная интерполяция единственна, то формулы Лагранжа (17), (19) отличаются от формул Ньютона (15), (16) только формой записи.

Известные в литературе априорные оценки погрешности интерполяции на практике неприменимы, т.к. они требуют знания производных от функции y(x).

Для апостериорной оценки погрешности возможны два подхода.

А. Формула (15) представляется как частичная сумма ряда

(2.20)

где первые n+1 слагаемое - это правая часть формулы (15), а r - остаток ряда, погрешность этой формулы. Если , то можно рассчитывать на быструю сходимость ряда и оценивать погрешность так:

(2.21)

или

(2.22)

Б. Один из узлов сетки x_n+1 (т.н. контрольный узел) не используется для интерполяции. Тогда погрешность интерполяции в этом узле

(2.23)

Если погрешность интерполяции недопустимо велика, то уменьшить ее можно двумя путями.

А. Можно увеличить число узлов интерполяции. Но более пяти узлов использовать не рекомендуется, т.к. полином высокой степени чувствителен к погрешностям исходных данных и округления.

Б. Можно выбрать сетку с более мелким шагом, что ускоряет сходимость ряда (20).

Трудоемкость вычислений для ЭВМ приближенно оценивается по количеству наиболее трудоемких вычислительных операций.

А. Формула Ньютона (15) содержит n(n-1)/2 делений для вычисления разделенных разностей (9) и столько же умножений при вычислении функции (15) для каждого значения х.

Б. Вычисление функции по формуле (16) использует всего n умножений.

В. В формулах Лагранжа для вычисления знаменателей функций (19) требуется (n+1)(n-1) умножений и для вычисления самой функции (17) - (n+1)*(n+1) умножений и делений.

Дата добавления: 2014-12-27