Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Базис подпространства Крылова. Ортогонализация Арнольди





Для построения базиса в пространстве Крылова Km(n1, A) можно применить следующий подход. Сначала находят векторы w1=n1, w2=Aw1, w3=A2w1=Aw2,…, wm=Am–1w1=Awm–1. По определению (2.21),

Km(n1, A)=span{w1, w2,…,wm}.

Далее переходят от {w1,w2,…,wm} к {n1,n2,…,nm}, применив процедуру ортогонализации

nk+1=wk–1 , (2.26)

и затем пронормировав полученные векторы. Предполагая, что предыдущие k векторов уже построены, т.е.

i,j (1£i, j£k): (ni,nj)= . (2.27)

Тогда (2.26) можно записать

nk+1=Ank .

Для выполнения условия ортогональности nk+1 ко всем предыдущим векторам, умножают это равенство скалярно на nj (j£k) и приравнивая результат к нулю

(Ank, nj)– (2.28)

С учетом (2.27) отсюда легко получить выражение для коэффициентов aj

aj=(Ank, nj).

Описанный метод может быть оформлен в виде следующей процедуры, называемой ортогонализацией Арнольди.

Алгоритм ортогонализации Арнольди

Входные данные: n1, такой что ||n1||2=1; A; m
Выполнять для j=1,…, m
w=Anj
Выполнять для i=1,…, j
hij=(w, ni)
w=w–hijni
увеличить i
hj+1, j=||w||2
Если hj+1, j=0, то КОНЕЦ. Базис построен.
nj+1=w/hj+1, j
увеличитьj

Для коэффициентов ортогонализации здесь введена двойная индексация, с учетом которой внутренний цикл алгоритма алгебраически записывается как

hj+1, jnj+1=Anj . (2.29)

Коэффициенты ортогонализации hi,j можно объединить в виде матрицы H, дополнив в ней недостающие позиции нулями. При этом, как видно из алгоритма, для заданной размерности пространства m генерируется m+1 векторов. Последний вектор nm+1 (возможно, нулевой) в матричном представлении означает расширение базиса V одним дополнительным столбцом, т.е.

Vm=[n1|n2|…|nm]; Vm+1=[n1|n2|…|nm|nm+1].

Соответствующий вектору nm+1 коэффициент hm+1,m означает расширение матрицы H одной дополнительной строкой (возможно, нулевой).

Пусть – это матрица (m+1)´m матрица коэффициентов hm+1,m, а матрица Hm – та же самая матрица без последней строки, имеющая размерность m´m. Тогда непосредственно из описания алгоритма Арнольди и (2.29) следует, что матрица Hm является матрицей в верхней форме Хессенберга, (матрица называется верхней хессенберговой или верхней почти треугольной, если ее ненулевые элементы расположены только в ее верхнем треугольнике, на диагонали и на поддиагонали) и для нее справедливы соотношения

AVm=Vm+1 =VmHm+wmemT; (2.30)
VmTAVm=Hm. (2.31)

Кроме того, вследствие ортонормальности базиса {nj} имеет место равенство





Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1784; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.