Простые проценты

Простые проценты - кредитная схема, при которой проценты начисляются на одну и ту же величину, обычно - первоначальную сумму долга.

Обычно к наращению по простым процентам прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (до одного года) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору.

Наращенная сумма в этом случае будет состоять из первоначальной суммы долга Р и суммы начисленных процентов I. Каждый год приносит проценты в сумме Рi. Начисленные за n лет проценты составят:

I= Pni (6)

Наращенная сумма находится по формуле:

S=P+I=P+Pni=P(1+ni)

S=P(1+ni) (7)

Формула (6) называется формулой наращения по схеме простых процентов или кратко - формулой простых процентов.

Множитель (1+ni) называют множителем наращения простых процентов или коэффициентом наращения.

Множитель наращения показывает величину дохода на одну денежную единицу за фиксированный промежуток времени n. Для расчета данного множителя может быть использован микрокалькулятор, ЭТ Excel или специальные таблицы из Приложения 2.

Заметим, что в формулах (6,7) срок операции n измеряется в годах. Однако в большинстве финансовых операций срок указывается в днях, или фиксируются даты начала и окончания операции. Поэтому, вводя новые обозначения, можем изменить формулу (7).

Пусть t – срок операции в днях,

К – число дней в году, или временная база.

В годах срок операции n находится из отношения n = , что приводит формулу (7) к следующему виду:

(8)

Обычно для удобства вычислений год делится на 12 месяцев по 30 дней в каждом, т.е. продолжительность года К принимается равной 360 дням. Проценты, рассчитанные с временной базой К=360 дней, называются обыкновенными или коммерческими.

При расчете простых процентов может быть использована и действительная продолжительность года, равная для не високосного года 365 дням и 366 дням для високосного. Проценты, рассчитанные с использованием действительной временной базы, называются точными.

Срок операции в днях t также может вычисляться точно или приближенно. Приближенный расчет производится из условия, что в любом месяце 30 дней.

Для определения точного числа дней операции определяют соответствующие номера дня выдачи и погашения ссуды по таблице ”Порядковые номера дней в году” (см. Приложение 1) и находят их разность.

День выдачи и погашения суды принимают за один день.

Пример 1: ссуда выдана 15 сентября 2003 год, срок погашения:

a. 15 декабря 2003 года;

b. 15 января 2003 года.

Определить срок ссуды в днях в случаях a) и b).

Решение:

a) По таблице «Порядковые номера дней в году» находим соответствующие номера указанным в условии датам как находящиеся на пересечении столбца с названием месяца и строки с числом месяца, получаем:

15 сентября имеет порядковый номер 258,

15 декабря имеет порядковый номер 349.

Находим точный срок ссуды как разность между порядковыми номерами указанных в условии дат:

349 – 258 = 91 (день).

Приближенно срок ссуды находится следующим образом:

3 месяца х 30 дней – 1 день = 89 дней

b) Аналогично, по таблице Приложения 1 находим:

15 сентября имеет порядковый номер 258,

15 января имеет порядковый номер 15.

2003 год не является високосным, следовательно, продолжительность года составляет 365 дней.

Точный срок ссуды рассчитывается следующим образом:

365 – 258 + 15 = 122 дня.

Приближенный срок ссуды будет равен:

4 месяца х 30 дней – 1 день = 119 дней.

Таким образом, в зависимости от способа вычисления срока ссуды, различают три метода начисления простых процентов:

- точные проценты с точным числом дней ссуды (Великобритания США)

- обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (применяется в Бельгии, Франции)

- обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (Германия, Дания, Швеция)

Пример 2 Вычислить наращенную сумму по следующим данным: P = 200 000 руб., i = 24%,

срок с1.05 по 8.06 текущего года.

Решение:

1 способ. 1) Находим точное число дней ссуды: 159-121=38 дн.

Временную базу принимаем равной 365 дням.

2) Находим наращенную сумму по формуле (8):

S=200 000 * (1+38/365*0,24)= 204997,26 (руб)

2 способ. 1) Точное число дней ссуды 38, временная база 360 дней.

2) Наращенная сумма будет равна (формула (8)):

S=200 000 * (1+38/360*0,24)= 205066,67 (руб).

3 способ. 1) Приближенно число дней ссуды будет равно 30 + 8 - 1 = 37 дней, временная база 360 дней.

2) Наращенная сумма будет равна (формула (8))::

S=200 000 * (1+37/360*0,24)= 204933,33 (руб).

Вывод: Больший результат дает метод начисления обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды.

ЦБ РФ в Положении №39-П от 26 июня 1998 года рекомендует начисление процентов осуществлять в разрезе каждого договора в соответствии с пунктами 3.5, 4.1, 4.7, 5.1 и 5.4 Положения[6]. Суть сводится к следующему: проценты на привлеченные и размещенные денежные средства начисляются банком на остаток задолженности по основному долгу, учитываемой на соответствующем лицевом счете, на начало операционного дня.

В методических рекомендациях от 14 октября 1998 года №285-Т к данному положению рассмотрены следующие варианты начисления простых процентов[7]:

Пример 3 Начисление процентов на сумму выданного кредита по фиксированной процентной ставке: 11.08.98 банк выдает юридическому лицу (предприятию) кредит в сумме 250 тыс. руб. на 1 месяц по ставке 25%. Срок возврата суммы кредита и уплаты процентов по нему - 11.09.98.

Решение:

Полный срок кредита (11.08 - 11.09.98) - 32 календарных дня (n),

период начисления процентов по кредиту (11.08 - 10.09.98) - 31 календарный день (n - 1).

11.09.98 согласно условиям кредитного договора предприятие - заемщик погашает перед банком задолженность по кредиту и производит уплату процентов за пользование кредитом в сумме:

250000 руб. х 25% х = 5308 руб. 22 коп.

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

S = P (1+n₁ i₁+n₂ i₂+…+n_m i_m) = P (1+ ) (9)

где i_t – ставка простых процентов в периоде t, t = 1,…, m,

n_t – продолжительность соответствующего периода.

Пример 4 Начисление процентов на сумму вклада до востребования по процентной ставке, изменяющейся в течение срока действия договора банковского вклада: 07.07.98 банк заключает с вкладчиком договор банковского вклада на условиях выдачи вклада по первому требованию (вклад до востребования). Первоначальная сумма вклада - 84 руб. Процентная ставка - 3%, начисленные проценты не увеличивают сумму основного вклада, выплата процентов осуществляется по первому требованию вкладчика отдельно от суммы вклада. 30.07.98 вкладчик снимает с вклада денежные средства в сумме 43 руб. 04.08.98 банк принимает решение об увеличении, начиная с 10 августа 1998 года процентной ставки по вкладам до востребования до 4%. 03.09.98 вкладчик снимает оставшуюся сумму вклада и начисленные за весь период вклада проценты.

Решение:

Полный срок вклада (07.07 - 03.09.98) - 59 календарных дней (n),

период начисления процентов по вкладу (07.07 - 02.09.98) - 58 календарных дней (n - 1).

03.09.98 банк возвращает вкладчику остаток вклада в сумме 41 руб. и уплачивает начисленные на этот день проценты в сумме:

(84 руб. х 3% х ) + (41 руб. х 3% х ) + (41 руб. х 4% х ) = 31 коп.

Иногда при кредитовании по схеме простых процентов используется механизм реинвестирования. Реинвестирование средств представляет собой неоднократное последовательное повторение наращения по простым процентам в пределах заданного срока. Наращенная сумма для всего срока составит:

S = P (1+n₁ i₁)(1+n₂ i₂)…(1+n_m i_m) (10)

где n_m – продолжительность периода начисления по ставке реинвестирования i_m.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то формула (10) примет вид:

S = P (1+n i)^m (11)

где m - количество реинвестиций.

Пример 5 100 рублей положены на трехмесячный депозит под 14% годовых. Какова наращенная сумма, если операция повторяется два раза?

Решение:

Вычисляя по формуле (11) получим наращенную сумму:

S = 100 (1 + х 0,14)² = 107 руб 12 коп

Пример 6 Начисление процентов на сумму срочного вклада с условием ежемесячной капитализации процентов: 20.07.98 банк заключает с вкладчиком договор срочного вклада на 3 месяца (срок возврата вклада - 20.10.98). Сумма вклада - 10 тыс. руб. Процентная ставка - 22%, 20-го числа каждого месяца действия договора производится капитализация начисленных процентов. Переоформление вклада по окончании срока действия договора на ранее действовавших условиях срочного вклада договором не предусматривается. Выплата причисленных к сумме вклада процентов осуществляется по истечении срока действия договора.

Решение:

В течение срока действия договора банк трижды - 20.08.98, 20.09.98 и 20.10.98 производит капитализацию начисленных процентов во вклад.

20.10.98 - срок окончания договора срочного вклада, вкладчик не явился за вкладом в установленный договором срок. В этот же день после окончания операционного дня банк переоформляет указанный срочный вклад во вклад до востребования.

28.10.98 вкладчик получает сумму вклада до востребования и начисленные за период с 20.10.98 по 27.10.98 включительно (8 календарных дней) проценты по установленной ставке 4%.

Полный срок срочного вклада (20.07 - 20.10.98) - 93 календарных дня (n),

период начисления процентов по ставке срочного вклада - 22% (20.07 - 19.10.98) - 92 календарных дня (n - 1).

Полный срок вклада до востребования (20.10 - 28.10.98) - 9 календарных дней (n),

период начисления процентов по ставке вклада до востребования - 4% (20.10 - 27.10.98) - 8 календарных дней.

Порядок начисления банком процентов на сумму вклада:

- сумма срочного вклада на 21.08.98 (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.07.98 по 19.08.98 включительно):

10000 руб. + (10000 руб. х 22% х ) = 10186 руб. 85 коп.

- сумма срочного вклада на 21.09.98 (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.08.98 по 19.09.98 включительно):

10186,85 руб. + (10186,85 руб. х 22% х - ) = 10377 руб. 19 коп.

- сумма срочного вклада по состоянию на конец операционного дня 20.10.98 (с капитализацией процентов, начисленных за период с 20.09.98 по 19.10.98 включительно), в конце рабочего дня 20.10.98 переоформленного во вклад до востребования:

10377,19 руб. + (10377,19 руб. х 22% х ) = 10564 руб. 83 коп.

- сумма начисленных на вклад до востребования процентов (за период с 20.10.98 по 27.10.98 включительно):

10564,83 руб. х 4% х -------- = 9 руб. 26 коп.

Таким образом, общая сумма возврата денежных средств вкладчику составит на 28.10.98 10574 руб. 09 коп., из которых 10564 руб. 83 коп. - сумма срочного вклада с учетом капитализированных процентов и 9 руб. 26 коп. - проценты, начисленные за время, прошедшее с момента переоформления указанного срочного вклада во вклад до востребования.

В КБ и других кредитных организациях начисление процентов обычно регламентируется внутренними нормативными актами. Погашение процентов может производится ежемесячно, или, что встречается реже, ежеквартально.

Формулы (6) - (8) можно использовать и для расчета других показателей финансовой операции: срока, ставки процентов. Кроме этого, моделирование операций на основе данных формул позволяет решать целый круг экономических задач.

Пример 7 Пенсионер получает ежемесячную пенсию в 1300 руб. Какой капитал, вложенный в ценные бумаги с фиксированным купоном 5%, дает такой же доход?

Дата добавления: 2014-12-27