Понятие ранга матрицы

Для нахождения ранга матрицы ее нужно привести к ступенчатому виду: под первым ненулевым элементом каждой ее строки стоят нули в нижних строках:

Теорема. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Ранг матрицы обозначается r(А).

Приведение матрицы к ступенчатому виду осуществляется с помощью элементарных преобразований:

· умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;

· замена строк столбцами и наоборот;

· перестановка местами параллельных рядов;

· вычеркивание нулевого ряда;

· прибавление к элементам некоторого ряда соответствующих эле­ментов параллельного ряда, умноженных на любое действительное число.

Если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначаются А ~ В.

Для упрощения вычислений на первое место лучше ставить ту строку, в которой первый элемент равен 1.

Пример 3.3. Найдите ранг матрицы А = .

Решение: Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы первый элемент первой строки был равен 1:

Первую строку больше преобразовывать не будем.

Для того, чтобы первый элемент второй строки был равен нулю, прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

Для того, чтобы первый элемент третьей строки был равен нулю, прибавим к третьей строке первую, умноженную на (-5):

Для того, чтобы матрица имела ступенчатый вид, необходимо, чтобы второй элемент третьей строки был равен 0. Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-2):

Вычеркнем нулевую строку. В результате элементарных преобразований получили матрицу:

Число ненулевых строк в полученной матрице равно двум, следовательно, ее ранг равен 2, т.е. r(А) = 2.

Ответ: r(А) = 2

Контрольные вопросы:

1. Какая матрица называется невырожденной?
2. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?
3. Каков алгоритм нахождения обратной матрицы?
4. Чему равен ранг матрицы?
5. Какие матрицы называются эквивалентными?
6. Какие преобразования матриц относятся к элементарным преобразованиям?

Дата добавления: 2014-12-27