Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

Теорема 12. Если числовой ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его элементов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его элементов.

Теорема 13. Если числовой ряд сходится условно, то какое бы мы ни взяли число А, можно так переставить элементы этого ряда, что его сумма окажется равной А. Более того, можно так переставить элементы условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, окажется расходящимся.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Ряд знакочередующийся. Применяем признак Лейбница:

1)

2)

Из 1), 2) следует, что данный ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость, составим ряд из абсолютных величин: . К полученному ряду применим предельный признак сравнения с рядом . Члены выбранного и нового рядов – действительные положительные числа, при этом

.

Значит, эти ряды либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Т.к. ряд - расходящийся, то ряд также расходится.

Вывод: сходится условно.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Ряд знакочередующийся. Применяем признак Лейбница:

1)

2)

Условия признака выполняются, значит, ряд сходится. Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость.

. Получили ряд Дирихле (который при сходится, а при расходится). В нашем случае , поэтому ряд сходится абсолютно.

Пример 10.

Решение. Ряд знакочередующийся. Применяем признака Лейбница:

1) Нужно показать, что для любого п. Имеем

2) .

Вывод: ряд расходится.

Дата добавления: 2014-12-29