Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Формула полной вероятности




Читайте также:
  1. Аксиомы теории вероятностей. Аксиоматическое определение вероятности
  2. Анализ по полной схеме морфологического анализа частей речи, грамматических категорий, лексем и словоформ
  3. Барометрическая формула
  4. Барометрическая формула
  5. Барометрическая формула. Распределение Больцмана
  6. Барометрическая формула. Распределение Больцмана. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы.
  7. Барометрлік формула. 1 страница
  8. Барометрлік формула. 2 страница
  9. Барометрлік формула. 3 страница
  10. Бином Ньютона. Полиномиальная формула.
  11. БОГ В МИРЕ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ВЕРОЯТНОСТИ
  12. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

Задача 26. Докажите, что для любых событий А и В справедлива формула

P(A) = P(AôB)×P(B) + P(Aï )×P( )

Указание. Воспользуйтесь равенством .

Задача 27. В 40% ящиков белые шары составляют 60%, а в 60% ящиков они составляют 20%. Из случайно взятого ящика наугад выбирается шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Решение. Пусть событие В состоит в том, что выбран ящик первого типа. Тогда Р(В) = 0,4; P( ) = 0,6; P(AôB) = 0,6; P(Aï ) = 0,2. Применяя формулу из предыдущей задачи, получим Р(А) = 0,6×0,4+0,2×0,6 = 0,36.

Формулу из задачи 26 удобно применять в ситуации, когда последовательно проводятся два эксперимента, причем результат первого (произошло или не произошло событие В) существенно влияет на результат второго. Легко, однако, представить ситуацию, когда количество возможных исходов первого эксперимента гораздо больше двух.

Задача 28. Пусть события Н1, Н2,…Нn попарно несовместны и в сумме дают все пространство W. Тогда справедлива формула

(4)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Задача 29. В физико-математическом классе учится 50% математиков, 30% физиков и 20% лодырей. Каждый из математиков выучили по 80% заданных учителем формул, каждый из физиков – по 60%, а каждый из лодырей – по 10%. Какова вероятность, что случайно выбранный ученик правильно напишет необходимую формулу? А если нужно написать две формулы, то с какой вероятностью ученик правильно напишет обе? Хотя бы одну?

Задача 30. Система может находиться в одном из трех состояний: А, В и С. В течение минуты она с вероятностью 0,4 совершает переход из состояния А в состояние В, с вероятностью 0,3 – в состояние С (и с вероятностью 0,3 продолжает оставаться в состоянии А). Переходы В®А, В®С и ® имеют вероятности 0,5; 0,2 и 0,3 соответственно, а переходы С®А, Ѯ и С®С происходят с вероятностью 0,1; 0,3 и 0,6 соответственно. В начальный момент времени система находилась в состоянии А. Какова вероятность, что через две минуты она будет находиться в состоянии А? В состоянии В? В состоянии С? А что можно сказать о состоянии системы через три минуты?

Задача 31. Если Вася подготовится к уроку с помощью репетитора, то он получит пятерку с вероятностью 0,9 (в том случае, конечно, если его вызовут к доске); если он подготовится к уроку сам, то получит пятерку с вероятностью 0,5; если же Вася не подготовится к уроку, то вероятность получить пятерку составит 0,1. Известно, что Вася занимается с репетитором один раз в неделю, три раза в неделю он ходит на секцию айкидо и потому в эти дни к занятиям не готовится, в оставшиеся два дня Вася учит уроки самостоятельно (в субботу вечером Вася отдыхает в кругу друзей). Если известно, что Васю за неделю спросили один раз, то какова вероятность, что он получил пятерку? А если Васю спросят дважды (в разные дни), то какова вероятность, что он получит две пятерки? А с какой вероятностью он может в этом случае рассчитывать хотя бы на одну пятерку?



Замечание. Для решения второй части этой задачи (Васю спрашивают дважды) следует очень аккуратно рассмотреть следующие ситуации: РС, РН, СС, СН, НН. Буквы Р, С и Н означают, что в тот день, когда Васю вызывали к доске, он, соответственно, готовился к уроку с репетитором, готовился сам, не готовился вообще. Необходимо определить, с какой вероятностью Вася попадает в каждую из этих пяти ситуаций. Если событие А означает, что Вася получил две пятерки, то далее мы должны найти пять условных вероятностей: Р(АôРС), Р(АôРН), Р(АôСС), Р(АôСН) и Р(АôНН). То же для события В, означающего, что Вася получил хотя бы одну пятерку. Например, Р(ВôРС) = 0,9+0,5–0,9×0,5 = 0,95. Действительно, событие В можно представить в виде суммы двух событий: В1 – пятерка получена в тот день, когда Вася занимался с репетитором и В2 – пятерка получена в тот день, когда Вася занимался сам. Далее мы пользуемся формулой Р(В12)=Р(В1)+Р(В2)–Р(В1В2).

Задача 32. Известно, что у 50% курильщиков желтые зубы, а среди некурящих людей этот процент составляет 20%. Стоматологический осмотр, проведенный в 17 школе, показал, что 30% старшеклассников имеют желтые зубы. Каков (примерно) процент курильщиков среди учащихся старших классов 17 школы?

Замечание. В этой задаче известна вероятность события А (у ученика желтые зубы), но неизвестна вероятность события В (ученик курит). Чтобы найти эту вероятность, следует воспользоваться формулой из задачи 26 и соотношением P( ) =1– Р(В).

Очень часто при последовательном проведении двух испытаний (экспериментов) нам бывает известен результат второго эксперимента (событие А произошло), и мы хотим сделать прогноз относительно результата первого эксперимента, то есть определить вероятность Р(HkôА).

Задача 33. Докажите справедливость следующей формулы:

 

(5)

 

Задача 34. В 40% ящиков белые шары составляют 60%, а в 60% ящиков они составляют 20%. Из случайно взятого ящика наугад выбирается шар. Какова вероятность, что был взят ящик первого типа, если этот шар оказался белым?

При применении формулы (5) вероятность Р(А) обычно вычисляется с помощью формулы (4). Если соединить эти две формулы вместе, то получится формула, которая носит название формула Байеса:

 

 

(6)

 

Задача 35. 20% выпускников 17 школы собираются поступать в московские вузы, 30% – в ТГТУ и 50% – в ТвГУ. Среди поступающих в московские вузы 20% сдают выпускной экзамен по ОБЖ, среди поступающих в ТГТУ и ТвГУ этот процент составляет 60% и 40% соответственно. Известно, что Вася решил сдавать экзамен по ОБЖ. Какова вероятность, что он собирается продолжить свое образование в ТГТУ?

 

Схема Бернулли.

 

Как уже говорилось ранее, вероятность р события А характеризует частоту, с которой происходит это событие при проведении достаточно большого количества экспериментов. При этом эксперименты должны проводиться в одинаковых условиях, и результаты разных экспериментов не должны зависеть друг от друга. В этом случае принято говорить о серии из n независимых испытаний или о схеме Бернулли с параметрами n и р.

Итак, пускай проводится n независимых испытаний. В результате одного испытания событие А происходит с вероятность р (и не происходит с вероятностью q = 1–p). Если в результате данного испытания событие А произошло, то это испытание будет называться успешным. Нас будет интересовать вопрос о количестве успешных испытаний в серии из n испытаний. Обозначим через Pn(m) вероятность того, что в серии из n независимых испытаний имело место ровно m успехов.

Задача 36. Докажите, что справедлива так называемая формула Бернулли:

 

(7)

 

Решение. Результат серии испытаний можно записать как упорядоченный набор из нулей и единиц, в котором единица соответствует успешно проведенному испытанию, а нуль означает, что в соответствующем испытании событие А не произошло. Вероятность того, что на k-ом месте в этом наборе стоит единица равна р, нуль – q. Так как испытания независимы, то вероятность результата серии равна произведению вероятностей результатов отдельных испытаний. В этом произведении m раз встречается число р и n–m раз – число q. То есть вероятность результата серии, содержащей m успешных испытаний, равна pm×qnm. Осталось сосчитать количество наборов, состоящих из m нулей и n–m единиц. Таких наборов, очевидно, . Отсюда получаем справедливость формулы (7).

Задача 37. Какова вероятность, что при 10 бросаниях игральной кости шестерка выпадет ровно один раз? Ровно 2 раза?

Задача 38. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,2. Какова вероятность, что из десяти выстрелов он ровно 2 раза попадет в цель? Сколько выстрелов надо сделать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в цель не менее двух раз?

Задача 39. Какое число успехов является наиболее вероятным в схеме Бернулли с параметрами n и р?

Указание. Решите неравенство .

 

Приложение 2.

Контрольная работа по теории вероятностей (проводилась в 2001 году в 11б классе сш №17 г. Твери).

Вариант 1

1. Р(А)=0,6; Р(В)=0,4; Р(АВ)=0,2. Найти Р(А+В), .

2. Вероятностное пространство состоит из 4 элементарных исходов: , вероятности которых пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4. . Найти Р(А½В). Будут ли события А и В независимы?

3. В 11б классе случайным образом выбирают одного мальчика и одну девочку для участия в игре «Счастливый случай». Какова вероятность, что это будут Саша и Настя? Какова вероятность, что среди них будет Лена или Олег? (В 11б классе 8 девочек и 17 мальчиков, из них 3 Насти, 2 Лены, 3 Саши и 3 Олега).

4. В коробке 10 красных и 6 синих шаров. Ваня достает 5 шаров. Какова вероятность, что он вытащит ровно 2 синих шара? Какова вероятность, что он вытащит хотя бы один синий шар?

5. Вероятность того, что богатая невеста имеет плохой характер, равна 0,8; бедная – 0,4. В Твери 20% богатых и 80% бедных невест. Ваня женился на первой встречной и, увы, ему досталась жена с плохим характером. Какова вероятность, что она богата?

6. Кубик кидают 4 раза. Какова вероятность, что ровно 2 раза выпадет шестерка?

 

Вариант 2

1. Р(А)=0,5; Р(В)=0,4; Р(А+В)=0,7. Найти Р(АВ), .

2. Вероятностное пространство состоит из 4 элементарных исходов: , вероятности которых пропорциональны числам 1, 2, 2 и 3. . Найти Р(А½В). Будут ли события А и В независимы?

3. Василий Сергеевич случайным образом построил в шеренгу трех Антонов и трех Дим. Какова вероятность, Дима Сапожников и Антон Цуканов будут стоять рядом? Какова вероятность, что Антон Кошелев будет стоять с краю?

4. В коробке 2 красных и 3 синих шара. Двое ученых по очереди тащат шары, пока не вытащат красный. Какова вероятность, что первым это сделает первый ученый?

5. 2 раза в неделю Андрей Клишов готовит уроки. Если он идет в школу с выученными уроками, то вероятность получить пятерку равна 0,7; если с невыученными – то 0,2. Известно, что в субботу Андрей получил пятерку. Какова вероятность, что в этот день он выучил уроки?

6. Кубик кидают 10 раз. Какова вероятность, что шестерка выпадет хотя бы раз? Что она выпадет ровно 1 раз?

 

Вариант 3

1. Р(А)=0,6; Р(В)=0,4; А и В независимы. Найти Р(А+В), .

2. Вероятностное пространство состоит из 4 элементарных исходов: . . Известно, что Р(w1)=0,4, Р(w3)=0,2, Р(А½В)=0,5. Найти Р(А) и Р(В).

3. В 11б классе случайным образом выбирают двух мальчиков и двух девочек для проверки уровня математической подготовки. Какова вероятность, что среди них будут Арина и Олег? (В 11б классе одна Арина; остальные сведения в задаче из 1 варианта).

4. В коробке 6 красных и 8 синих шаров. Ваня достает 3 шара. Какова вероятность, что он вытащит 3 шара одного цвета? Какова вероятность, что он вытащит ровно один синий шар?

5. Денис решает правильно одну задачу из трех, Гриша – одну из двух, а Андрей – одну из шести. Андрей списывает в среднем две задачи из пяти, причем одинаково часто у Гриши и у Дениса. На этот раз задача у Андрея оказалась решенной правильно. Какова вероятность, что он ее списал у Гриши?

6. Имеются 4 карточки с буквами М, А, Ш и А. Маша в произвольном порядке выкладывает их на стол. Какова вероятность, что получится слово МАША?

 

Вариант 4

1. Р(А)=0,6; Р(В)=0,4; Р(А½В)=0,5. Найти Р(А+В), .

2. Вероятностное пространство состоит из 4 элементарных исходов: . . Известно, что Р(w1)= , Р(w3)= , А и В независимы. Найти вероятности всех элементарных исходов.

3. В 11б классе случайным образом выбирают двух мальчиков и двух девочек для проверки уровня физической подготовки. Какова вероятность, что среди них будут две Насти и ни одного Димы? (В 11б классе 3 Димы).

4. В коробке 4 красных и 6 синих шаров. Ваня достает 4 шара. Какова вероятность, что среди них синих шаров окажется больше? Какова вероятность, что синих шаров не будет совсем?

5. У Саши Годикова в левом кармане 4 шпаргалки по физике и 6 по химии, а в правом 2 шпаргалки по химии и шесть по физике. Саша достает из левого кармана одну шпаргалку и, если она по физике, то кладет ее на место, а если по химии, то перекладывает в другой карман. После чего он достает шпаргалку из правого кармана. Известно, что это была шпаргалка по химии. Какова вероятность, что из левого кармана он тоже достал шпаргалку по химии?

6. Имеются 4 карточки с буквами А, Н, Т, О и Н. Антон в произвольном порядке выкладывает их на стол. Какова вероятность, что получится слово ТОННА?

 





Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 336; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2018) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление ip: 54.159.44.54
Генерация страницы за: 0.006 сек.