Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Частные производные




Будем предполагать, что действительная функция двух переменных f: X ´ Y® Z задана в некоторой окрестности точки (x0, y0). Придадим переменной х произвольное приращение D х, оставляя значение второго аргумента фиксированным, y = y0. Соответствующее приращение функции обозначим через D хz,

D xz = f(x0 + D x, y0) – f(x0, y0).

Аналогичным образом можно построить приращение функции по переменной y при фиксированном значении х = х0:

D yz = f(x0, y0 + Dy ) – f(x0, y0).

Если существует предел , то он называется частной производной функции f(x, y) = z в точке (х0, y0) по переменной х (соответственно, y)

Частная производная по x (y) обозначается так:

.

Из определения частной производной следует, что при ее вычислении, скажем, по переменной х вхождение в формулу функции f(x, y) переменной y следует рассматривать как некоторую константу, т.е. дифференцировать функцию f(x, y) как функцию одной переменной х. Аналогично при вычислении частной производной по переменной y переменную х следует рассматривать как константу.

Пример 1.11.

1)

2) n

Проиллюстрируем геометрический смысл частных производных. С этой целью рассмотрим уравнение F(x, y) = 0, с помощью которого задаются кривые на плоскости " x, y ", вид которых зависит от вида функции F(x, y). Например, формула x2 + y2 –1 =0, F(x, y) = x2 + y2 –1, задает окружность единичного радиуса с центром в начале координат; уравнение прямой имеет вид ax + by + c = 0 и т.д.

Двумерный вектор ÑF с координатами называется градиентом функцииF; его значениев точке (x0, y0) определяется через вычисление значений обеих частных производных F'x, F'y, т.е. F'x(x0,,y0), F'y(x0, y0). Поскольку компоненты вектора ÑF является функциями, то градиент называется вектор – функцией двух переменных и записывается как ÑF(x, y) = (F'x(x, y), F'y(x, y)).

Геометрически вектор Ñ F(x0, y0) задает направление нормали ккривой F(x,y)=0 в точке M0(x0, y0), т.е. направление, перпендикулярное к касательной в этой точке (см. рис.1.14.).

 

Уравнение нормали к кривой F(x,y)=0 в точке M0(x0, y0) задается из соображений, что вектор, начинающийся в точке M0(x0, y0) и заканчивающийся в произвольной точке M(x, y) нормали, т.е. вектор М0М, получается умножением градиентаÑ F(x0, y0), на произвольное число k:

M0M = k ×ÑF(x0, y0).

Отсюда (если F'x(x0, y0) ¹ 0 и F'y(x0, y0) ¹ 0) можно записать в координатной форме

,

или, освобождаясь от k, получаем окончательный вид уравнения нормали

, , .

Если же , а , то уравнение нормали имеет вид х = х0, т.е. нормаль параллельна оси ординат; при и уравнение нормали имеет вид y = y0, т.е. нормаль параллельна оси абсцисс. Точки, в которых Ñ F(x0,y0)=0, называются особыми; в них нормаль к кривой F(x, y) = 0 не определена.

Уравнение касательной к кривой F(x, y) = 0 в неособой точке M0(x0, y0), т. е. точке, для которой ÑF(x0,y0)¹ 0, выводится из соображений, что вектор, начинающийся в точке M0(x0, y0) и заканчивающийся в произвольной точке N(x, y) касательной, т.е. вектор M0N (см. рис. 1.14.) перпендикулярен вектору Ñ F(x0,y0), т.е. их скалярное произведение равно 0:

(ÑF(x0,y0), M0N) = 0.

В координатной форме получаем уравнение касательной в виде

F'x(x0, y0) × (x – x0) + F'y (x0, y0) × (y – y0) =0.

Рассмотрим частный случай, когда кривая задана в форме, разрешенной относительно y, т.е. y = f(x). Формально можно написать, что

f(x) –y = 0, т.е. F(x, y) = f(x) – y.

Отсюда F'x = f'(x), F'y = -1 и уравнение нормали примет вид

,

а уравнение касательной примет такой вид:

f'(x0) × (x - x0) + (y0 – y) = 0.

Пример 1.12.

Выпишем уравнения касательной и нормали к следующим кривым на плоскости.

1) xy – y5 – 5 = 0 в точке (x0 = 6, y0 =1); это пример общего случая F(x, y) = 0. Имеем: F'x = y, F'y = x – 5y4; F'x(x0, y0) = 1, F'y(x0, y0) = 6 – 5 = 1.

Уравнение нормали: или y = х - 5.

Уравнение касательной: 1× (x-6) + 1× (y – 1) =0 или y = -х + 7.

2) y = sinx в точке (x0 = p, y0 = 0). Это пример частного случая y = f(x).

Имеем: f'(x) = cosx; f'(x0) = - 1.

Уравнение нормали: или y = х - p.

Уравнение касательной: (-1)(x-p) + (0 – y) = 0 или y = -х + p

На рис. 1.15. изображены касательная и нормаль к графику функции y(x) = sin x в точке (p, 0) n

 


 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 396; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.