Примеры решения задач. 1. На столе стоит цилиндрический сосуд высоты H, наполненный доверху водой

1. На столе стоит цилиндрический сосуд высоты H, наполненный доверху водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить высоту h, на которой нужно сделать в сосуде небольшое отверстие, чтобы вытекающая из него струя попадала на стол на наибольшем удалении от сосуда.

Решение

Выделим в жидкости трубку тока, ограниченную с одной стороны открытой поверхностью жидкости в сосуде, а с другой стороны – сечением отверстия (обозначена пунктиром на рис.8.5). Давления в обоих сечениях одинаковы, поскольку равны атмосферному давлению. Кроме того, скорость перемещения открытой поверхности в широком сосуде можно положить равной нулю. С учетом представленных на рис.8.5 обозначений, уравнение Бернулли примет вид

.

Сократив на , найдем скорость истечения жидкости из отверстия

.

Теперь составим кинематические уравнения для движения частиц жидкости в поле силы тяжести

и .

Решение уравнений дает

.

Для нахождения значения y, при котором величина x имеет максимальное значение, приравняем нулю производную

.

В результате получим .

2. В сосуде с глицерином падает с постоянной скоростью свинцовый шарик. Плотность свинца ρ₁=11,3 г/см³, плотность глицерина ρ₂=1,26 г/см³, его динамическая вязкость η=1,48 Па·с. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев жидкости, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Критическое значение числа Рейнольдса

Решение

Характер течения слоев жидкости, прилипших к шарику, определяется безразмерным числом Рейнольдса

.

На шарик, падающий в жидкости, действуют три силы:

1) сила тяжести ;

2) выталкивающая сила Архимеда ;

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса, .

При установившемся движении шарика () сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой и силой внутреннего трения, т.е.

,

отсюда .

Подставляя полученное выражение для скорости в формулу Рейнольдса, найдем

.

Произведя вычисления, получим

мм.

3. По горизонтальной трубе переменного сечения течет вода. Площади поперечных сечений трубы на разных ее участках соответственно равны S₁=10 см² и S₂=20 см². Разность уровней воды в манометрических трубках составляет 20 см (рис.8.6). Определить массовый расход воды через сечение трубы. Вязкостью воды пренебречь.

Решение

Массовый расход воды – это масса воды, протекающей через сечение трубы за единицу времени,

,

где - плотность воды, - скорость течения через сечение .

При стационарном течении идеальной жидкости выполняются уравнение неразрывности

,

и уравнение Бернулли для горизонтальной трубы ()

,

где и - статические давления в различных сечениях.

Учитывая, что

,

решая систему полученных уравнений, найдем

.

Подставляя данное выражение в формулу для массового расхода воды, получим

.

Вычисления дают

Q=2,3 кг.

Дата добавления: 2014-12-29