КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Квадратурные формулы с равными коэффициентами
Квадратурное правило, все коэффициенты которого одинаковы, (4.30) особенно удобно при графических расчетах, так как сумму ординат можно достаточно легко снять с чертежа. Будем считать, что весовая функция не эквивалентна нулю, т.е. . Формула (4.30) содержит параметр: Эти параметры будем выбирать таким образом, чтобы правило (4.30) выполнялось точно для многочленов степени , что равносильно выполнению равенств (4.31) Правила интегрирования, обладающие этим свойством, называются квадратурными правилами Чебышева. Теорема 4.9. Если , то квадратурное правило (4.30), точное для всех алгебраических многочленов степени не выше , с действительными или комплексными узлами всегда может быть построено и при этом единственным способом. Доказательство. Условие точного выполнения равенства (4.30) для многочлена нулевой степени даст уравнение для нахождения коэффициента и . (4.32) Если равенство (4.31) записать для , то для нахождения значений получится система уравнений (4.33) Полученная система является нелинейной и процесс нахождения ее решения достаточно сложный. Поэтому будем искать не узлы , а строить многочлен, для которого эти узлы будут корнями . Коэффициенты , являются симметрическими функциями корней , (соотношениями Виетта) и также являются симметрическими функциями корней, причем справа в (4.33) указаны их значения. Из алгебры известны соотношения, связывающие и , (4.34) Соотношения (4.34) позволяют по известным значениям найти последовательно и при этом единственным образом значения . Затем по коэффициентам , можно построить многочлен и, решив уравнение , найти узлы , квадратурного правила (4.30). Замечание 4.3. Бернштейном доказано, что при и для всех , среди есть комплексные.
Рассмотрим частный случай квадратурного правила Чебышева, когда весовая функция и интеграл имеет вид . Так как всякий конечный отрезок интегрирования линейной заменой переменных преобразуется в отрезок , то квадратурное правило записывается в виде: . Будем считать, что отрезок интегрирования приведен к интервалу и квадратурное правило имеет вид . Так как , то и . Значения , согласно (4.34), определяются следующим образом: . Тогда уравнения (4.34) запишутся в виде , , , , Значения с нечетными индексами получились равными и в многочлене сохраняются только либо одни четные, либо одни нечетные степени . В таблице 4.5. приведены значения узлов правила Чебышева для . Таблица 4.5.
Замечание 4.4. Можно уточнить значение интеграла путем деления интервала интегрирования на равных частей. В этом случае используется только табличных узлов, а значение интеграла вычисляется по узлам. Квадратурная формула Чебышева для вычисления интеграла путем деления интервала интегрирования на равных частей имеет вид . Пример 4.14. Вычислим интеграл . С помощью замены переменной интеграл и соответствующая квадратурная формула преобразуются к виду
Если вычислять интеграл при , используя данные таблицы 4.5., то получим . Вычисляя интеграл при тех же значениях путем деления интервала на две части , получим , а при − .
Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 655; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |